và gia tốc theo phương trình vận tốc (hay phương trình chuyển động), sử dụng:
$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$$
Công thức trên chỉ thích hợp với chuyển động thẳng (như vận tốc và gia tốc trên đường thẳng), điều này chưa phù hợp với nhiều vấn đề trong cuộc sống. Vì vậy ta nghiên cứu đến khái niệm về chuyển động cong khi một vật thể di chuyển theo đường cong định trước.
Thông thường ta biểu diễn thành phần chuyển động là $x$ và $y$ là hàm số theo thời gian, gọi là dạng tham số.
Ví dụ 1: Cho phương trình chuyển động có tham số $t$, hãy vẽ đồ thị:
$$y(t)=\cos t$$
$$x(t)=\sin t$$
với $t=0$ đến $2\pi$ trong $0,5$ quãng đường đầu.
Đầu tiên, ta cần thiết lập bảng giá trị bằng cách thay một số giá trị vào $t$
Trả lời
Spoiler
Ta xác định $13$ điểm theo bảng giá trị, bắt đầu tại $(0;1)$ như theo hình dưới đây (di chuyển theo chiều kim đồng hồ)
Ta thấy rằng ta đã tạo ra một hình tròn tâm tại $(0;0)$ và bán kính $1$ đơn vị.
Cần lưu ý rằng ẩn $t$ không xuất hiện trong đồ thị này mà chỉ có ẩn $x$ và $y.$
I. Các thành phần ngang và dọc của vận tốc.
Thành phần ngang của vận tốc được xác định bởi:
$$v_{x}=\frac{dx}{dt}$$
và thành phần dọc của vận tốc:
$$v_{y}=\frac{dy}{dt}$$
Ta có thể tìm độ lớn của vận tốc tổng hợp $v$ một khi ta đã biết các thành phần ngang và dọc của vận tốc bằng cách sử dụng:
$$v=\sqrt{(v_{x})^{2}+(v_{y})^{2}}$$
Phương vị $\theta$ mà vật thể di chuyển được xác định bởi:
$$\tan \theta_{v}=\frac{v_{y}}{v_{x}}$$
Ví dụ 2: Cho phương trình $x=5t^{3}$ và $y=4t^{2}$ với thời gian $t$, tìm độ lớn và phương vị của vận tốc khi $t=10$
Trả lời
Spoiler
Khi $t=10$, ta được tọa độ điểm là $(5000,400)$
Đây là đồ thị của chuyển động.
Lưu ý:
- Trục tọa độ là $x$ và $y$ (không có kèm theo $t$)
- Các điểm "chuyển động" nhanh dần theo thời gian
Ta có:
$$x=5t^{3}$$
Vì vậy:
$$\frac{dx}{dt}=15t^{2}$$
Với $t=10$, vận tốc theo chiều trục $x$ là:
$$\frac{dx}{dt}=v_{x}=1500\, m/s$$
Tương tự, $y=4t^{2}$ nên vận tốc theo chiều trục $y$ khi $t=10$ là:
$$\frac{dy}{dt}=v_{y}=80\, m/s$$
Vậy độ lớn của vận tốc sẽ là:
$$v=\sqrt{(v_{x})^{2}+(v_{y})^{2}}=1502,1\, m/s$$
Bây giờ ta xác định phương vị của vận tốc (tính theo góc hợp với trục $x$ theo chiều dương).
$$\tan\theta _{v}=\frac{v_{y}}{v_{x}}=0,053$$
Vậy $\theta _{v}=0,053$ radian $=3,05^{o}$
Ví dụ 3: Cho
$$x=\frac{20t}{2t+1}$$
Và
$$y=0,1(t^{2}+t)$$
theo thời gian $t$. Xác định độ lớn và phương vị của vận tốc khi $t=2$, Vẽ đồ thị đường cong.
Trả lời
Spoiler
Khi $t=2$ ta được tọa độ điểm là $(8; 0,6)$
$$x=\frac{20t}{2t+1}$$
Vậy
$$\frac{dx}{dt}=\frac{20}{(2t+1)^{2}}$$
Với $t=2$:
$$\frac{dx}{dt}=v_{x}=0,8\, m/s$$
Tương tự, với $y=0,1(t^{2}+t)$ và $t=2$. ta được
$$\frac{dy}{dt}=v_{y}=0,1(2t+1)=0,5\, m/s$$
Vậy:
$$v=\sqrt{(v_{x})^{2}+(v_{y})^{2}}=0,943\, m/s$$
Bây giờ ta xác định phương vị:
$$\tan \theta _{v}=\frac{v_{y}}{v_{x}}=0,625$$
Vậy:
$$\theta _{v}=\arctan(0,625)=0,558$$ radian.
II. Gia tốc vật thể khi chuyển động cong:
Biểu thức của gia tốc có cách xác định tương tự như cách xác định vận tốc.
Thành phần ngang của gia tốc:
$$a_{x}=\frac{dv_{x}}{dt}$$
Thành phần dọc của gia tốc:
$a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt}$
Độ lớn của gia tốc:
$$a=\sqrt{(a_{x})^{2}+(a_{y}^{3})}$$
Phương vị của gia tốc:
$$\tan \theta_{a}=\frac{a_{y}}{a_{x}}$$
Ví dụ 4: Một chiếc xe hơi trên đường chạy thử nghiệm đến khúc cua thì chạy với biểu thức đường đi là $x=20+0,2t^{3}, y=20t-2t^{2}$ với $x$ và $y$ tính theo mét $(m)$ và $t$ là giây $(s)$.
$(i)$ Vẽ đồ thị đường cong với $0\leq t\leq 8$
$(ii)$ Tính gia tốc của xe khi $t=0,3$ giây.
Trả lời
Spoiler
$(i)$ Đồ thị:
$(ii)$ Gia tốc:
Thành phần ngang:
$$x=20+0,2t^{3}$$
$$v_{x}=\frac{dx}{dt}=0,6t^{2}$$
$$a_{x}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=1,2t$$
Với $t=3,0,a_{x}=3,6$
Thành phần dọc:
$$y=20t-2t^{2}$$
$$v_{y}=\frac{dy}{dt}=20-4t$$
$$a_{y}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-4$$
Với $t=3,a_{y}=-4$
Bây giờ:
$$a=\sqrt{(a_{x})^{2}+(a_{y})^{2}}=5,38$$
Và:
$$\theta_{a}=\arctan(\frac{a_{y}}{a_{x}})=312^{o}$$ (góc phần tư thứ $4$)
Vậy gia tốc của xe có độ lớn là $5,38m/s^{2}$ và có phương vị $312^{o}$ hợp với trục $x$ theo chiều dương.
III. Vậy nếu như $x$ và $y$ không phải là phương trình theo tham số $t$ thì giải quyết như thế nào?
Ví dụ 5: Một hạt di chuyển theo đường $y=x^{2}+4x+2$ tính theo $cm$. Cho vận tốc ngang $v_{x}=3cm/s$, xác định độ lớn và phương vị của vận tốc tại điểm $(-1,-1)$
Trả lời
Spoiler
Đây là cách giải quyết khác cho ví dụ. Lần này ta có $y$ theo $x$ và không có biểu thức nào chứa tham số $t$ nữa.
Để có thể xác định độ lớn cũng như phương vị của vận tốc, ta cần biết:
$$v_{x}=\frac{dx}{dt}$$
Và
$$v_{y}=\frac{dy}{dt}$$
Nhưng trong câu hỏi đã cho ta
$$v_{x}=\frac{dx}{dt}=3$$
Vậy ta cần tìm $\frac{dy}{dt}$
Để tìm được, ta tính vi phân phương trình đã cho theo $t$ bằng cách sử dụng các kỹ thuật ta đã nghiên cứu trong bài vi phân hàm ẩn
$$y=x^{2}+4x+2$$
$$\frac{dy}{dx}=2x\frac{dx}{dt}+4\frac{dx}{dt}$$
Vì $\frac{dx}{dt}=3$ và ta muốn biết vận tốc tại $x=-1$ nên ta được:
Vậy vận tốc là $6,7082\, cm/s$ với phương vị $63,4^{o}$
Ví dụ 6:
Một quả tên lửa được bắn theo quỹ đạo (tính them $km$):
$$y=x-\frac{x^{3}}{90}$$
Nếu vận tốc ngang được cho bởi $V(x)=x$, xác định độ lớn và phương vị của vận tốc khi quả tên lửa chạm đất (coi như địa hình bằng phẳng) với thời gian tính theo phút.
Trả lời
Spoiler
Hãy nhìn vào đồ thị chuyển động để hiểu rõ hơn vấn đề đặt ra
Ta thấy rằng quả tên lửa chạm đất ở gần vị trí $x=9,5\, km$. Tại điểm này vận tốc ngang có giá trị dương (quả tên lửa đi từ trái sang phải) và vận tốc dọc có giá trị âm (quả tên lửa đi xuống).
$"V(x)=x"$ có nghĩa là khi $x$ tăng, vận tốc ngang cũng tăng với cùng một giá trị (đương nhiên là khác đơn vị đo). Vậy với ví dụ này, với $x=2\, km$ thì tốc độ ngang là $2\,km/$ phút, và với $x=7\, km$, tốc độ ngang là $7\,km/$ phút và cứ thế.
Để tính độ lớn vận tốc khi tên lửa chạm đất, ta cần xác định các thành phần ngang và dọc của vận tốc ở thời điểm đó.
(1) Vận tốc ngang: Ta cần giải phương trình sau để tìm chính xác điểm va chạm của tên lửa với mặt đất
Nhưng ta đã biết $\frac{dx}{dt}$ và $x$ có ảnh hưởng với nhau, vậy ta chỉ cần thay giá trị $x$ tìm được ở phần $(1)$, kết quả sẽ ra số âm đúng như ta dự đoán ban đầu
$$\frac{dy}{dt}=-18,97366596$$
Bây giờ ta tính độ lớn vận tốc, bao gồm vận tốc ngang và vận tốc dọc