Chủ đề này có 3 trả lời

[vuminhhoang]

Làm hộ t với nha

 

cho a,b,c > 0 : ab+bc+ca=1

 

cmr $a^2+b^2+c^2+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2$

 

[Hoang Tung 126]

Ta có :BDT $< = > \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{8abc}{(c+a)(b+c)(a+b)}\geq 2< = > \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}-1+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-1\geq 0< = > \frac{\sum (a-b)^2}{2(ab+bc+ac)}-\frac{\sum c(a-b)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0< = > \sum (a-b)^2(\frac{1}{2(ab+bc+ac)}-\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)})\geq 0$

Bằng phép biến đổi tương đương dễ dang chứng minh được :$\frac{1}{2(ab+bc+ac)}-\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)}> 0$

Từ đó $= > \sum (a-b)^2(\frac{1}{2(ab+bc+ac)}-\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)})\geq 0$(đpcm)

[vuminhhoang]

Ta có :BDT $< = > \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{8abc}{(c+a)(b+c)(a+b)}\geq 2< = > \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}-1+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-1\geq 0< = > \frac{\sum (a-b)^2}{2(ab+bc+ac)}-\frac{\sum c(a-b)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0< = > \sum (a-b)^2(\frac{1}{2(ab+bc+ac)}-\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)})\geq 0$

Bằng phép biến đổi tương đương dễ dang chứng minh được :$\frac{1}{2(ab+bc+ac)}-\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)}> 0$

Từ đó $= > \sum (a-b)^2(\frac{1}{2(ab+bc+ac)}-\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)})\geq 0$(đpcm)

 

bạn biến đổi sai 1 chỗ, bạn nhâm là

 

$c(a-b)^2+b(a-c)^2+a(b-c)^2 = (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$

 

chứ làm sao mà đặt $\sum (a-b)^2$ ra ngoài đc

[trandaiduongbg]

Làm hộ t với nha

 

cho a,b,c > 0 : ab+bc+ca=1

 

cmr $a^2+b^2+c^2+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2$

Đây là trường hợp đặc biệt của bài:

Cho a,b,c>0

CMR: $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2$