Chủ đề này có 3 trả lời

[kfcchicken98]

1. cho x,y,z dương, CM

$x^{3}(y^{2}+z^{2})^{2}+y^{3}(z^{2}+x^{2})^{2}+z^{3}(x^{2}+y^{2})^{2}\geq xyz(xy(x+y)^{2}+yz(y+z)^{2}+xz(x+z)^{2})$ (USA TST 2009)

2. cho a,b,c dương, abc=1

Tìm Min $\frac{1}{a^{5}(b+2c)^{2}}+\frac{1}{b^{5}(c+2a)^{2}}+\frac{1}{c^{5}(a+2b)^{2}}$ (USA TST 2010)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 03-12-2013 - 06:10

[Hoang Tung 126]

Bài 2: Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z= > xyz=1$

Ta có :$A=\frac{x^5}{(\frac{1}{y}+\frac{2}{z})^2}+\frac{y^5}{(\frac{1}{z}+\frac{2}{x})^2}+\frac{z^5}{(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})^2}=\frac{x^5y^2z^2}{(z+2y)^2}+\frac{y^5x^2z^2}{(x+2z)^2}+\frac{z^5y^2x^2}{(y+2x)^2}=\frac{x^3}{(2y+z)^2}+\frac{y^3}{(x+2z)^2}+\frac{z^5}{(y+2x)^2}$

(Do xyz=1)

Theo AM-GM có :$\frac{x^3}{(2y+z)^2}+\frac{2y+z}{27}+\frac{2y+z}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3(2y+z)^2}{27^2(2y+z)^2}}=\frac{x}{3}$

Lập luận tương tự các bdt kia rồi cộng lại ta được :$\frac{x^3}{(2y+z)^2}+\frac{y^3}{(2z+x)^2}+\frac{z^3}{(2x+y)^2}\geq \frac{x+y+z}{9}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

Từ đó A Min= $\frac{1}{3}< = > x=y=z=1< = > a=b=c=1$

[Hoang Tung 126]

Bài 1 Nhân ra rồi dồn biến thì phải

[kfcchicken98]

Bài 2: Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z= > xyz=1$

Ta có :$A=\frac{x^5}{(\frac{1}{y}+\frac{2}{z})^2}+\frac{y^5}{(\frac{1}{z}+\frac{2}{x})^2}+\frac{z^5}{(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})^2}=\frac{x^5y^2z^2}{(z+2y)^2}+\frac{y^5x^2z^2}{(x+2z)^2}+\frac{z^5y^2x^2}{(y+2x)^2}=\frac{x^3}{(2y+z)^2}+\frac{y^3}{(x+2z)^2}+\frac{z^5}{(y+2x)^2}$

(Do xyz=1)

Theo AM-GM có :$\frac{x^3}{(2y+z)^2}+\frac{2y+z}{27}+\frac{2y+z}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3(2y+z)^2}{27^2(2y+z)^2}}=\frac{x}{3}$

Lập luận tương tự các bdt kia rồi cộng lại ta được :$\frac{x^3}{(2y+z)^2}+\frac{y^3}{(2z+x)^2}+\frac{z^3}{(2x+y)^2}\geq \frac{x+y+z}{9}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

Từ đó A Min= $\frac{1}{3}< = > x=y=z=1< = > a=b=c=1$

bài 2 có thể giải ngắn hơn bằng Holder

đặt P=$\frac{1}{a^{5}(b+2c)^{2}}+\frac{1}{b^{5}(c+2a)^{2}}+\frac{1}{c^{5}(a+2b)^{2}}$; S=$a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b)$

có $P.S^{2}\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{3}$

suy ra$P\geq \frac{(ab+bc+ca)^{3}}{(3ab+3bc+3ca)^{2}}=\frac{ab+bc+ca}{9}\geq \frac{3}{9}=\frac{1}{3}$