cho a,b,c duong thỏa $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+8$
CMR
$3(ab+bc+ac)\leq 81$
CMR $3(ab+bc+ac)\leq 81$
Bắt đầu bởi zack, 04-12-2013 - 03:13
#2
Đã gửi 04-12-2013 - 04:39
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
cho a,b,c duong thỏa $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+8$
CMR
$3(ab+bc+ac)\leq 81$
Lời giải. Ta có $a+b+c= \frac 1a + \frac 1b + \frac 1c+8 \ge \frac{9}{a+b+c}+8$.
Vì $a,b,c$ dương nên $a+b+c$ dương. Do đó $$(a+b+c)^2 \ge 9+8(a+b+c) \Leftrightarrow (a+b+c-4)^2 \ge 25 \Leftrightarrow a+b+c \ge 9$$
Ta có $ab+bc+ca \le \frac{(a+b+c)^2}{3}= \frac{81}{3}=27$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=3$. $\blacksquare$
- datcoi961999 và NVHT thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 04-12-2013 - 05:31
kfcchicken98
-
- Thành viên
-
- 259 Bài viết
Thượng sĩ
Lời giải. Ta có $a+b+c= \frac 1a + \frac 1b + \frac 1c+8 \ge \frac{9}{a+b+c}+8$.
Vì $a,b,c$ dương nên $a+b+c$ dương. Do đó $$(a+b+c)^2 \ge 9+8(a+b+c) \Leftrightarrow (a+b+c-4)^2 \ge 25 \Leftrightarrow a+b+c \ge 9$$
Ta có $ab+bc+ca \le \frac{(a+b+c)^2}{3}= \frac{81}{3}=27$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=3$. $\blacksquare$
ngược dấu
- Trang Luong yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
