Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Cho tập $A \subset \mathbb{R}$ bị chặn, chứng minh $\sup (-A) = -\inf (A)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 lovemylife

lovemylife

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Đã gửi 04-12-2013 - 22:42

Cho tập $A \subset \mathbb{R}$ bị chặn và $-A=\left \{ -x:x\in A \right \}$

CMR: $sup (-A) = -inf A$ và $inf (-A) = -sup A$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 06-12-2013 - 00:59


#2 fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Đã gửi 04-12-2013 - 23:21

$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$. Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$, hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$. Như vây $-\inf A= \sup (-A)$

 

Tương tự cho phần kia.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 06-12-2013 - 08:39


#3 lovemylife

lovemylife

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Đã gửi 05-12-2013 - 21:04

$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$. Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$, hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$. Như vây $-\inf A= \sup (-A)$

 

Tương tự cho phần kia.

bạn có thể trình bày lại đầy đủ đc ko? mình đang làm bài để nộp cho thầy nhưng phần này mình ko hỉu j hết. hic  :wacko:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemylife: 05-12-2013 - 21:34


#4 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 06-12-2013 - 00:23

Cho tập $A \subset \mathbb{R}$ bị chặn và $-A=\left \{ -x:x\in A \right \}$

CMR: $sup (-A) = -inf A$ và $inf (-A) = -sup A$

 

Bạn có thể tham khảo thêm bài viết về supremum và infimum

 

https://www.math.ucd...r/m125b/ch2.pdf

http://math.berkeley...outs/supinf.pdf


Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#5 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 06-12-2013 - 00:56

Cho tập $A \subset \mathbb{R}$ bị chặn và $-A=\left \{ -x:x\in A \right \}$

CMR: $sup (-A) = -inf A$ và $inf (-A) = -sup A$

Do tập $A \subset \mathbb{R}$ và bị chặn nên ta giả sử $A=(a,b); a,b \in \mathbb{R}$ và $a<b$

 

Từ đó ta được $-A=(-b,-a)$

 

Xét $A$ có $\sup(A)=b;\inf(A)=a$

 

Xét $-A$ có $\sup(-A)=-a;\inf(-A)=-b$

 

Từ đó ta được $\sup(-A)=-\inf(A)=-a;\inf(-A)=-\sup(A)=-b$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 06-12-2013 - 00:57

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#6 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 06-12-2013 - 01:45

Do tập $A \subset \mathbb{R}$ và bị chặn nên ta giả sử $A=(a,b); a,b \in \mathbb{R}$ và $a<b$

 

Từ đó ta được $-A=(-b,-a)$

 

Xét $A$ có $\sup(A)=b;\inf(A)=a$

 

Xét $-A$ có $\sup(-A)=-a;\inf(-A)=-b$

 

Từ đó ta được $\sup(-A)=-\inf(A)=-a;\inf(-A)=-\sup(A)=-b$

 

Cơ sở nào để có thể quy trường hợp tổng quát về trường hợp riêng khi tập hợp chỉ có hai phần tử ? Nếu $A$ hữu hạn thì có thể giả thiết được nhưng $A$ vô hạn thì sao?


Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#7 fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Đã gửi 06-12-2013 - 08:35

bạn có thể trình bày lại đầy đủ đc ko? mình đang làm bài để nộp cho thầy nhưng phần này mình ko hỉu j hết. hic  :wacko:

 

Bạn chỉ cần nhớ $sup$ là chặn trên bé nhất có thể. Để chứng minh số nào đấy là $sup$ (trong trường hợp này là $- \inf A$), thì (1) chứng minh số đấy là chặn trên, và (2) chứng minh mọi số nhỏ hơn số đấy sẽ không phải chặn trên.

 

(1) Chứng minh $-\inf A$ là chặn trên

$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$.

(2) Chứng minh mọi số nhỏ hơn $-\inf A$ không phải là chặn trên

Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$ (tính chất của $\inf$, chặn dưới lớn nhất, vì $-y > \inf A$, nên $-y$ không phải là chặn dưới của $A$, như vậy tồn tại $x' < -y$ với $x' \in A$). Hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$.

 

Như vây $-\inf A= \sup (-A)$

 

Do tập $A \subset \mathbb{R}$ và bị chặn nên ta giả sử $A=(a,b); a,b \in \mathbb{R}$ và $a<b$

 

Từ đó ta được $-A=(-b,-a)$

 

Xét $A$ có $\sup(A)=b;\inf(A)=a$

 

Xét $-A$ có $\sup(-A)=-a;\inf(-A)=-b$

 

Từ đó ta được $\sup(-A)=-\inf(A)=-a;\inf(-A)=-\sup(A)=-b$

 

Cơ sở nào để có thể quy trường hợp tổng quát về trường hợp riêng khi tập hợp chỉ có hai phần tử ? Nếu $A$ hữu hạn thì có thể giả thiết được nhưng $A$ vô hạn thì sao?

 

$A$ bị chặn nên không thể vô hạn.

 

Nhưng vấn đề với việc xem $A=(a,b)$ là vì cấu trúc của $A$ không xác định, và bài toán không phụ thuộc vào cấu trúc của $A$. Nhưng việc coi như $A=(a,b)$ có ích để hình dung cách giải.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 06-12-2013 - 08:42


#8 lovemylife

lovemylife

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Đã gửi 06-12-2013 - 21:02

Bạn chỉ cần nhớ $sup$ là chặn trên bé nhất có thể. Để chứng minh số nào đấy là $sup$ (trong trường hợp này là $- \inf A$), thì (1) chứng minh số đấy là chặn trên, và (2) chứng minh mọi số nhỏ hơn số đấy sẽ không phải chặn trên.

 

(1) Chứng minh $-\inf A$ là chặn trên

$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$.

(2) Chứng minh mọi số nhỏ hơn $-\inf A$ không phải là chặn trên

Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$ (tính chất của $\inf$, chặn dưới lớn nhất, vì $-y > \inf A$, nên $-y$ không phải là chặn dưới của $A$, như vậy tồn tại $x' < -y$ với $x' \in A$). Hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$.

 

Như vây $-\inf A= \sup (-A)$

 

 
 

 

$A$ bị chặn nên không thể vô hạn.

 

Nhưng vấn đề với việc xem $A=(a,b)$ là vì cấu trúc của $A$ không xác định, và bài toán không phụ thuộc vào cấu trúc của $A$. Nhưng việc coi như $A=(a,b)$ có ích để hình dung cách giải.

còn phần inf(-A) = - sup A thì sao ? bạn trình bày luôn ik  :wacko:



#9 fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Đã gửi 07-12-2013 - 07:04

còn phần inf(-A) = - sup A thì sao ? bạn trình bày luôn ik  :wacko:

 

$\inf(-A)=-\sup(A) \Leftrightarrow -\inf(-A)=\sup(A)$. Theo phần vừa chứng minh, $-\inf(-A)=\sup(-(-A))=\sup(A)$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh