Chủ đề này có 8 trả lời

[lovemylife]

Cho tập $A \subset \mathbb{R}$ bị chặn và $-A=\left \{ -x:x\in A \right \}$

CMR: $sup (-A) = -inf A$ và $inf (-A) = -sup A$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 06-12-2013 - 00:59

[fghost]

$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$. Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$, hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$. Như vây $-\inf A= \sup (-A)$

 

Tương tự cho phần kia.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 06-12-2013 - 08:39

[lovemylife]

$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$. Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$, hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$. Như vây $-\inf A= \sup (-A)$

 

Tương tự cho phần kia.

bạn có thể trình bày lại đầy đủ đc ko? mình đang làm bài để nộp cho thầy nhưng phần này mình ko hỉu j hết. hic 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemylife: 05-12-2013 - 21:34

[phudinhgioihan]

Cho tập $A \subset \mathbb{R}$ bị chặn và $-A=\left \{ -x:x\in A \right \}$

CMR: $sup (-A) = -inf A$ và $inf (-A) = -sup A$

 

Bạn có thể tham khảo thêm bài viết về supremum và infimum

 

https://www.math.ucd...r/m125b/ch2.pdf

http://math.berkeley...outs/supinf.pdf

[hoangtrong2305]

Cho tập $A \subset \mathbb{R}$ bị chặn và $-A=\left \{ -x:x\in A \right \}$

CMR: $sup (-A) = -inf A$ và $inf (-A) = -sup A$

Do tập $A \subset \mathbb{R}$ và bị chặn nên ta giả sử $A=(a,b); a,b \in \mathbb{R}$ và $a<b$

 

Từ đó ta được $-A=(-b,-a)$

 

Xét $A$ có $\sup(A)=b;\inf(A)=a$

 

Xét $-A$ có $\sup(-A)=-a;\inf(-A)=-b$

 

Từ đó ta được $\sup(-A)=-\inf(A)=-a;\inf(-A)=-\sup(A)=-b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 06-12-2013 - 00:57

[phudinhgioihan]

Do tập $A \subset \mathbb{R}$ và bị chặn nên ta giả sử $A=(a,b); a,b \in \mathbb{R}$ và $a<b$

 

Từ đó ta được $-A=(-b,-a)$

 

Xét $A$ có $\sup(A)=b;\inf(A)=a$

 

Xét $-A$ có $\sup(-A)=-a;\inf(-A)=-b$

 

Từ đó ta được $\sup(-A)=-\inf(A)=-a;\inf(-A)=-\sup(A)=-b$

 

Cơ sở nào để có thể quy trường hợp tổng quát về trường hợp riêng khi tập hợp chỉ có hai phần tử ? Nếu $A$ hữu hạn thì có thể giả thiết được nhưng $A$ vô hạn thì sao?

[fghost]

bạn có thể trình bày lại đầy đủ đc ko? mình đang làm bài để nộp cho thầy nhưng phần này mình ko hỉu j hết. hic 

 

Bạn chỉ cần nhớ $sup$ là chặn trên bé nhất có thể. Để chứng minh số nào đấy là $sup$ (trong trường hợp này là $- \inf A$), thì (1) chứng minh số đấy là chặn trên, và (2) chứng minh mọi số nhỏ hơn số đấy sẽ không phải chặn trên.

 

(1) Chứng minh $-\inf A$ là chặn trên

$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$.

(2) Chứng minh mọi số nhỏ hơn $-\inf A$ không phải là chặn trên

Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$ (tính chất của $\inf$, chặn dưới lớn nhất, vì $-y > \inf A$, nên $-y$ không phải là chặn dưới của $A$, như vậy tồn tại $x' < -y$ với $x' \in A$). Hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$.

 

Như vây $-\inf A= \sup (-A)$

 

Do tập $A \subset \mathbb{R}$ và bị chặn nên ta giả sử $A=(a,b); a,b \in \mathbb{R}$ và $a<b$

 

Từ đó ta được $-A=(-b,-a)$

 

Xét $A$ có $\sup(A)=b;\inf(A)=a$

 

Xét $-A$ có $\sup(-A)=-a;\inf(-A)=-b$

 

Từ đó ta được $\sup(-A)=-\inf(A)=-a;\inf(-A)=-\sup(A)=-b$

 

Cơ sở nào để có thể quy trường hợp tổng quát về trường hợp riêng khi tập hợp chỉ có hai phần tử ? Nếu $A$ hữu hạn thì có thể giả thiết được nhưng $A$ vô hạn thì sao?

 

$A$ bị chặn nên không thể vô hạn.

 

Nhưng vấn đề với việc xem $A=(a,b)$ là vì cấu trúc của $A$ không xác định, và bài toán không phụ thuộc vào cấu trúc của $A$. Nhưng việc coi như $A=(a,b)$ có ích để hình dung cách giải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 06-12-2013 - 08:42

[lovemylife]

Bạn chỉ cần nhớ $sup$ là chặn trên bé nhất có thể. Để chứng minh số nào đấy là $sup$ (trong trường hợp này là $- \inf A$), thì (1) chứng minh số đấy là chặn trên, và (2) chứng minh mọi số nhỏ hơn số đấy sẽ không phải chặn trên.

 

(1) Chứng minh $-\inf A$ là chặn trên

$-\inf A \geq -x ~ \forall x \in A \rightarrow -\inf A \geq x ~ \forall x \in -A.$ Như vậy $-\inf A$ là chặn trên của $-A$.

(2) Chứng minh mọi số nhỏ hơn $-\inf A$ không phải là chặn trên

Với mọi $y < -\inf A,$ $-y> \inf A$, như vậy tồn tại $x' \in A$ sao cho $-y > x'$ (tính chất của $\inf$, chặn dưới lớn nhất, vì $-y > \inf A$, nên $-y$ không phải là chặn dưới của $A$, như vậy tồn tại $x' < -y$ với $x' \in A$). Hay $y < -x'$, như vậy $y$ không phải chặn trên của $-A$.

 

Như vây $-\inf A= \sup (-A)$

 

 

 

 

$A$ bị chặn nên không thể vô hạn.

 

Nhưng vấn đề với việc xem $A=(a,b)$ là vì cấu trúc của $A$ không xác định, và bài toán không phụ thuộc vào cấu trúc của $A$. Nhưng việc coi như $A=(a,b)$ có ích để hình dung cách giải.

còn phần inf(-A) = - sup A thì sao ? bạn trình bày luôn ik 

[fghost]

còn phần inf(-A) = - sup A thì sao ? bạn trình bày luôn ik 

 

$\inf(-A)=-\sup(A) \Leftrightarrow -\inf(-A)=\sup(A)$. Theo phần vừa chứng minh, $-\inf(-A)=\sup(-(-A))=\sup(A)$