Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $M=(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ chia hết cho 81.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Cho x,y,z nguyên và thoả mãn điều kiện:

$x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$

Chứng minh rằng:

$M=(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ chia hết cho 81.


SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#2
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

Cho x,y,z nguyên và thoả mãn điều kiện:

$x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$

Chứng minh rằng:

$M=(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ chia hết cho 81.

ta có x-y=a ,y-z=b,z-x=c thì a+b+c=0 do đó $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$ chia hết cho 81 ta cm 3abc chia hết cho 81 hay abc chia hết cho 27 

từ $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$ (1)

nếu cả 3 số x,y,z đều có cùng số dư khi chia cho 3 thì ta có x-y ,y-z và z-x đều chia hết cho 3 do đó abc chia hết cho 27

nếu cả 3 số có số dư khác nhau khi chia cho 3 thì VT của (1) chia hết cho 3 còn VP thì không (loại)

nếu chỉ có 2 số cùng số dư khi chia cho 3 thì VT không chia hết cho 3 và VP chia hết cho 3 (vô lí)

vậy ta luôn có đpcm


tàn lụi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh