Cho a,b,c>0 thoa man ab+bc+ca+2abc=1. Chung minh $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq \frac{3}{2}$
Cho a,b,c>0 thoa man ab+bc+ca+2abc=1
#1
Đã gửi 05-12-2013 - 18:39
#2
Đã gửi 05-12-2013 - 19:33
$GT\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1+a}=2=\sum \frac{y+z}{x+y+z}=\sum \frac{1}{1+\frac{x}{y+z}}\: (x;y;z>0)$
Nên ta có thể đặt $a=\frac{x}{y+z};b=\frac{y}{x+z};c=\frac{z}{x+y}$
$\sum \sqrt{ab}=\sum \sqrt{\frac{xy}{(y+z)(x+z)}}\leq \sum \frac{1}{2}.(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z})=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}$
#3
Đã gửi 05-12-2013 - 21:09
Một cách khác này:
Đặt $\sqrt{ab}=x; \sqrt{bc}=y; \sqrt{ca}=z; s=x+y+z$
Từ gt ta có $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1$
Xét
$s^{2}-2s+1$
$=(x+y+z)^{2}-2(x+y+z)+1$
$=1-2xyz+2(xy+yz+zx)-2(x+y+z)+1$
$=2(1-x)(1-y)(1-z) \leq 2(\frac{1-x+1-y+1-z}{3})^{3}$
$\Rightarrow s^{2}-2s+1 \leq 2(\frac{3-s}{3})^{3}$
$\Leftrightarrow 27(s^{2}-2s+1) \leq 2(27-27s+9s^{2}-s^{3})$
$\Leftrightarrow 2s^{3}+9s^{2}-27 \leq 0$
$\Leftrightarrow (2s-3)(s+3)^{2} \leq 0$
$\Leftrightarrow 2s-3 \leq 0 \Leftrightarrow s \leq \frac{3}{2} đpcm$
Đẳng thức $\Leftrightarrow 1-x=1-y=1-z \Leftrightarrow x=y=z \Leftrightarrow ab=bc=ca\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rohupt: 05-12-2013 - 21:29
"Sông Nghi, đàn Vũ ta về,
Núi Côn, ta đến cận kề người xưa
Nhà tranh một mái che mưa
Mượn nghề cày cuốc sớm trưa ta làm
Rượu đào nâng chén rót tràn,
Vui say, một khúc sáo đàn ngâm nga..."
Thi-tân
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh