Chủ đề này có 2 trả lời

[taduyhung]

Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c$\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$. Chứng minh:
$\sum \frac{a^{3}c}{b(c+a)}\geq \frac{3}{2}$

 

[Nguyen Duc Thuan]

Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c$\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$. Chứng minh:
$\sum \frac{a^{3}c}{b(c+a)}\geq \frac{3}{2}$

$T=\sum \frac{a^3c}{b(c+a)}=\sum \frac{a^2}{b(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})}\geq \sum \frac{(a+b+c)^2}{\sum (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}})$

Đặt $\sum \frac{a}{b}=\sum x$ suy ra $xyz=1$ và $A=x+y+z\geq 3$

$\Rightarrow T\geq \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$

$=\frac{A^2}{A+xy+yz+zx}\geq \frac{A^2}{A+\frac{A^2}{3}}$

$=\frac{3A}{3+A}=3-\frac{9}{3+A}\geq 3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 05-12-2013 - 21:19

[taduyhung]

Phải đăt A=x+y+z chư ạ?