Chủ đề này có 1 trả lời

[taduyhung]

Cho $\Delta ABC$. Phân giác ngoài của $\hat{A}$ cắt BC tại E. Phân giác góc trong của $\hat{A}$ cắt BC tại E sao cho: AD=AE. Chứng minh: $AB^{2}+AC^{2}=4R^{2}$ (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

[Forgive Yourself]

Cho $\Delta ABC$. Phân giác ngoài của $\hat{A}$ cắt $BC$ tại $E$. Phân giác góc trong của $\hat{A}$ cắt $BC$ tại $D$ sao cho: $AD=AE$. Chứng minh: $AB^{2}+AC^{2}=4R^{2}$ (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

 

Theo giả thiết $\Delta ADE$ vuông cân tại $A$ với đường cao $AH$, $\widehat{ADH}=\widehat{DAH}=45^o$.

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $C$ thuộc đoạn $DH$.

 

Khi đó $\widehat{BAH}=\widehat{BAD}+\widehat{DAH}=\widehat{DAC}+45^o<90^o$ nên $B$ phải thuộc tia $CD$.

 

Tia $AD$ cắt đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp $\Delta ABC$ tại trung điểm $F$ của cung $BC$.

 

Dễ thấy $45^o=\widehat{ADH}=\widehat{BDF}=\widehat{OFA}$ suy ra hai đường đường kính $AG\perp FK\Rightarrow AG//BC\Rightarrow GB=AC$

 

Từ đó $AB^2+GB^2=4R^2\Rightarrow AB^2+AC^2=4R^2$

Hình gửi kèm

•