Chủ đề này có 3 trả lời

[Rat Ham Hoc]

1/Cho $a\in \mathbb{R} tm:a^{5}-a^{3}+a=2$. Cm: $3<a^{6}<4$

2/Cho $0<a;b;c<1$. Cm: $2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}<3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

3/ Tìm $x;y;z$ nguyên tm: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq xy+3y+2z-4$

 

[Rias Gremory]

3/ Tìm $x;y;z$ nguyên tm: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq xy+3y+2z-4$

Biến đổi bất phương trình thành : $(x-\frac{y}{2})^{2}+3(\frac{y}{2}-1)^{2}+(z-1)^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x=1,y=2,z=1$$\Leftrightarrow x=1,y=2,z=1$

[Rias Gremory]

2/Cho $0<a;b;c<1$. Cm: $2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}<3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Do $0< a,b< 1\Rightarrow a^{3}< a^{2}< a< 1;b^{3}< b^{2}< b< 1$

Ta có : $(1-a^{2})(1-b)> 0\Rightarrow 1+a^{2}b> a^{2}+b$

$\Leftrightarrow 1+a^{2}b> a^{3}+b^{3}$

Tương tự $b^{3}+c^{3}< 1+b^{2}c;c^{3}+a^{3}< 1+c^{2}a$

$\Rightarrow 2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}< 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

[Viet Hoang 99]

1/Cho $a\in \mathbb{R} tm:a^{5}-a^{3}+a=2$. Cm: $3<a^{6}<4$

 

 

$a(a^{4}-a^{2}+1)=2$

$\rightarrow a>0$

Áp dụng Cô-si:

• $a^{5}+a=2+a^{3}>2\sqrt{a^{6}}=2a^{3}$ (Dấu = k xảy ra)

         $\rightarrow a^{3}<2\rightarrow a^{6}<4$

• $a(a^{4}-a^{2}+1)=2$

  $a(a^{2}+1)(a^{4}-a^{2}+1)=2(a^{2}+1)\Leftrightarrow a^{6}+1=\frac{2(a^{2}+1)}{a}>4$ (Dấu = k xảy ra)

$\rightarrow a^{6}>3$