Chủ đề này có 1 trả lời

[Primary]

Cho đa thức $P_k(x)=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^{k-1}x^{k-1}$ với $k$ nguyên dương. Chứng minh:

$\sum_{k=1}^{n}C^k_nP_k(x)=2^{n-1}.P_n\left ( \frac{x-1}{2} \right )$, $n \in N^*$

[perfectstrong]

Lời giải:

Viết lại $P_k(x)$:\[
P_k \left( x \right) = \frac{{1 - \left( { - x} \right)^k }}{{1 - \left( { - x} \right)}} = \frac{{1 - \left( { - x} \right)^k }}{{1 + x}}\forall x \ne -1
\]
Do đó $\forall x \ne -1$\[
\begin{array}{rcl}
 \sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k P_k \left( x \right)}  &=& \sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k \frac{{1 - \left( { - x} \right)^k }}{{1 + x}}}  \\
  &=& \frac{1}{{1 + x}}\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k }  - \sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k \left( { - x} \right)^k } } \right) \\
  &=& \frac{1}{{1 + x}}\left( {2^n  - 1 - \left( {\left( {1 - x} \right)^n  - 1} \right)} \right) \\
  &=& \frac{{2^n  - \left( {1 - x} \right)^n }}{{1 + x}} \\
  &=& \frac{{2^n }}{2}\frac{{1 - \left( { - \frac{{x - 1}}{2}} \right)^n }}{{1 + \frac{{x - 1}}{2}}} = 2^{n - 1} P_n \left( {\frac{{x - 1}}{2}} \right) (*) \\
 \end{array}
\]

Mà do 2 vế của (*) đều là các đa thức nên (*) cũng sẽ đúng kể cả khi $x=-1$. Ta có đpcm.