Ngày 1 - 23/11/ 2013
Đường tròn $\omega_1$ với đường kính $AB$ và đường tròn $\omega_2$ tâm $A$ cắt nhau tại $C$ và $D$. Gọi $E$ là 1 điểm trên đường tròn $\omega_2$, $E$ nằm ngoài $\omega_1$ và nằm trong nửa mặt phẳng bờ $AB$, chứa điểm $C$. Đường thẳng $BE$ cắt đường tròn $\omega_2$ tại $F$. Giả sử $K$ là 1 điểm trên đường tròn $\omega_1$, nằm trong nửa mặt phẳng chứa $A$, bờ là đường thẳng chứa đường kính qua $C$ của $\omega_1$. Ta có: $2CK.AC=CE.AB$. Gọi giao điểm thứ hai của $KF$ và $\omega_1$ là $L$. Chứng minh rằng: điểm đối xứng của $D$ qua $BE$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $LFC$.
Câu 2
Cho $m$ là một số nguyên dương.
a. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $k$ sao cho $1+km^3$ là lập phương của một số hoàn hảo, và $1+kn^3$ không phải là lập phương của một số hoàn hảo, với mọi số nguyên dương $n < m$
b. Đặt $m=p^r$, với $p \equiv 2 \pmod 3$ là một số nguyên tố và $r$ là một số nguyên dương.Tìm tất cả các số $k$ thỏa mãn yêu cầu ở a.
Câu 3
Gọi $G$ là một đồ thị đơn, vô hướng, liên thông với 100 đỉnh và 2013 cạnh. Giả sử luôn tồn tại hai đỉnh $A$ và $B$ sao cho không thể tới $A$ từ $B$ mà đi qua $1$ hoặc $2$ cạnh. Ta tô màu tất cả các cạnh bằng $n$ màu sắc, sao cho tất cả các cặp đỉnh luôn tồn tại cách di chuyển giữa chúng trên các cạnh cùng màu. Tìm giá trị lớn nhất của $n$
Câu 1
Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn $2^n+n=m!$
Câu 2
Tìm giá trị lớn nhất của $M$ sao cho với mọi số thực dương $a,b,c$, ta có:
$$a^3+b^3+c^3 -3abc \geq M(ab^2+bc^2+ca^2-3abc)$$
Câu 3
Cho $n$ là một số nguyên dương và $P_1,P_2,...,P_n$ là các điểm phân biêt trong mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điềm bất kì là một số nguyên. Hơn nữa, các khoảng cách $P_iP_1, P_iP_2,...,P_iP_n$ tạo thành một dãy, với mọi $i=1,2,...,n$ khi các số này được sắp xếp theo một thứ tự không giảm. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $n$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 07-12-2013 - 19:36
