Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

5 bài giải tích cổ điển

toán cao cấp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 lovemylife

lovemylife

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Đã gửi 06-12-2013 - 21:31

1. Cho dãy $\left ( a_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}$ dương. CMR: nếu $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\rightarrow a$ thì $\sqrt[n]{a_{n}}\rightarrow a$

2. tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

3. tính $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{sin(x^{2}-3x+2)}{x^{2}-4}$

4. cho f là song ánh, có đạo hàm cấp 2. tính đạo hàm cấp 2 của hàm ngược

5. CMR nếu f liên tục trên [a,b] thì $\exists c,d\in \mathbb{R}:f\left ( \left [ a,b \right ] \right )=\left [ c,d \right ]$

 

Giúp mình với. sinh viên năm nhất đang còn bỡ ngỡ, hic. khó nuốt với môn học này  :(  :wacko:  :mellow:  :unsure:  :blink:  :icon2:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 08-12-2013 - 15:17


#2 fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Đã gửi 07-12-2013 - 07:21

(5) $f$ liên tục, $[a,b]$ compact, connected nên $f([a,b])$ compact, connected. Mà trên $R$ tập compact, connected phải là đoạn $[c,d]$ nào đấy. ĐPCM.

 

(4) $f$ song ánh, khả vi cấp 2, nên $g=f^{-1}$ tồn tại khả vi cấp hai. Ta có $f(g(x))=1.$ Lấy đạo hàm cấp 1, ta có $f'(g(x))g'(x)=1$. Lấy đạo hàm cấp 2, ta có $f''(g(x))g'(x)+f'(g(x))g''(x)=0$.

 

Từ đẳng thức thứ nhất ta có, $g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$. Từ đẳng thức thứ 2, ta có

$$g''(x)=\frac{-f''(g(x))g'(x)}{f'(g(x))}=\frac{-f''(g(x))}{f'(g(x))}\frac{1}{f'(g(x))}=\frac{-f''(g(x))}{(f'(g(x)))^2}$$



#3 lovemylife20

lovemylife20

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 07-12-2013 - 19:45

(5) $f$ liên tục, $[a,b]$ compact, connected nên $f([a,b])$ compact, connected. Mà trên $R$ tập compact, connected phải là đoạn $[c,d]$ nào đấy. ĐPCM.

 

(4) $f$ song ánh, khả vi cấp 2, nên $g=f^{-1}$ tồn tại khả vi cấp hai. Ta có $f(g(x))=1.$ Lấy đạo hàm cấp 1, ta có $f'(g(x))g'(x)=1$. Lấy đạo hàm cấp 2, ta có $f''(g(x))g'(x)+f'(g(x))g''(x)=0$.

 

Từ đẳng thức thứ nhất ta có, $g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$. Từ đẳng thức thứ 2, ta có

$$g''(x)=\frac{-f''(g(x))g'(x)}{f'(g(x))}=\frac{-f''(g(x))}{f'(g(x))}\frac{1}{f'(g(x))}=\frac{-f''(g(x))}{(f'(g(x)))^2}$$

bạn ơi, bạn giải lại chi tiết bài 5 giúp mình đc ko? mình doc mà k hỉu, compact, connected là cái gì, mình k có học cái này :(



#4 fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Đã gửi 08-12-2013 - 04:20

bạn ơi, bạn giải lại chi tiết bài 5 giúp mình đc ko? mình doc mà k hỉu, compact, connected là cái gì, mình k có học cái này :(

Tập compact trong $R^n$ tương đương với tập đó đóng và bị chặn.

 

Tập $E$ connected trong $R^n$ là tập mà không thể bị chia ra bởi 2 tập mở $A, B$ trong $R^n$ sao cho $A, B \ne \emptyset,$ $A\cup B=E,$ $A \cap B = \emptyset$.

 

Ánh xạ liên tục sẽ map tập compact đến tập compact, tập connected đến tập connected.



#5 ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nơi nào đó
  • Sở thích:Manga, Anime, Volleyball,...

Đã gửi 08-12-2013 - 09:01

Có lẽ năm nhất chưa học topo.

$f$ liên tục trên $[a.b]$ nên đặt $c= \min_{[a.b]} f, d=\max_{[a,b]} f$.

Theo định lý giá trị trung bình, $f$ nhận mọi giá trị trung gian giữa $[c,d]$.

Tức là

$$\forall y \in [c,d], \exists x \in [a,b]: f(x)=y \Rightarrow y \in f([a,b]) \Rightarrow [c,d] \subset f([a,b])$$.

Ngược lại,

$$\forall y \in f([a,b]), c \le y \le d \Rightarrow y \in [c,d] \Rightarrow f([a,b]) \subset [c,d]$$.

Vậy có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChangBietDatTenSaoChoDoc: 08-12-2013 - 09:09

Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#6 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 11-12-2013 - 17:47



 

2. tính $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

3. tính $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{sin(x^{2}-3x+2)}{x^{2}-4}$

 

 
Giải:
 
Bài 2:
 
Ta có: $\ln \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\ln n-\frac{1}{n}\ln n!=-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln \left ( \frac{i}{n} \right )\to -\int_{0}^{1}\ln x\: dx\to 1$
 
Nên $\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\to e$
 
Bài 3:
 
Ta có:  $\frac{\sin(x^{2}-3x+2)}{x^{2}-4}=\frac{\sin \left ( x^2-3x+2 \right )}{x^2-3x+2}\: \frac{x^2-3x+2}{x^2-4}\to \frac{1}{4}$
 
 
P.s: A/c nào có cách khác không? Post lên ~O)



Có lẽ năm nhất chưa học topo.

$f$ liên tục trên $[a.b]$ nên đặt $c= \min_{[a.b]} f, d=\max_{[a,b]} f$.

Theo định lý giá trị trung bình, $f$ nhận mọi giá trị trung gian giữa $[c,d]$.

Tức là

$$\forall y \in [c,d], \exists x \in [a,b]: f(x)=y \Rightarrow y \in f([a,b]) \Rightarrow [c,d] \subset f([a,b])$$.

Ngược lại,

$$\forall y \in f([a,b]), c \le y \le d \Rightarrow y \in [c,d] \Rightarrow f([a,b]) \subset [c,d]$$.

Vậy có đpcm.

U học năm mấy mà học cái này rồi, mình học năm nhất mà chả được học cái này....tài liệu thì không có nên "mù" phân này!~~làm wen học hỏi :icon10:

 

 

 


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#7 ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nơi nào đó
  • Sở thích:Manga, Anime, Volleyball,...

Đã gửi 11-12-2013 - 19:46

U học năm mấy mà học cái này rồi, mình học năm nhất mà chả được học cái này....tài liệu thì không có nên "mù" phân này!~~làm wen học hỏi :icon10:

12 a ạ, tò mò, nghe đâu năm nhất sẽ học đstt với topo nên e xem trước. Có mấy cái chả hiểu gì.


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#8 fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Đã gửi 11-12-2013 - 21:15

Có lẽ năm nhất chưa học topo.

 

Phần tính chất của hàm liên tục (như map tập compact đến tập compact, tập connected đến tập connected), tùy trường, có lẽ được dạy khi bắt đầu học giải tích ($/varepsilon, \delta$). Không cần dùng topo gì nhiều, nhưng không biết bạn chủ thread có được học hay chưa.



#9 duongkhuyettam

duongkhuyettam

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-12-2013 - 03:06

Sao chưa thấy bạn nào giải bài 1 vậy  :icon6: , thật ra đây là kết quả của trung bình Cesara, nếu đặt 

 

$ u_n = ln (a_{n+1}) - ln(a_n)  = ln (\frac{a_{n+1}}{a_n}) \rightarrow ln(a)$

 

$\Rightarrow \frac {\sum_{k=0}^{n} u_k}{n} \rightarrow ln(a)$

 

Xog $lim \sqrt[n]{a_n} = a$







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh