Trường THCS Lê Quý Đôn ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THÁNG 12-MÔN TOÁN
Ngày 08-12-2013
Bài 1: (3,0 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
- $\frac{x-y\sqrt{2013}}{y-z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỷ.
- $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số nguyên tố.
Bài 2: (3,0 điểm): Đa thức $F(x)$ chia cho đa thức $x^{2}+x+1$ dư $1-x$ và chia cho đa thức $x^{2}-x+1$ dư $3x+5$. Tìm dư của đa thức $F(x)$ chia cho đa thức $x^{4}+x^{2}+1$.
Bài 3: (4,0 điểm):
$a/$ Cho hệ: $\left\{\begin{matrix}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 & & \\ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\sqrt{2-a^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{a^{2}}}+\frac{a^{2}+1}{a} & & \end{matrix}\right.$
Với giá trị nào của $a$ thì hệ pt có ít nhất 1 nghiệm $x>0,y>0$, khi đó hãy tìm tất cả các nghiệm của hệ.
$b/$ Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất: $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2m\sqrt{x(1-x)}-2\sqrt[4]{x(1-x)}=m^{3}$
Bài 4: (2,0 điểm): Cho $a,b,c>0$ t/m: $a+b+c=1$. Tìm $Max$ $M=\sqrt{a^{2}+abc}+\sqrt{b^{2}+abc}+\sqrt{c^{2}+abc}+9\sqrt{abc}$
Bài 5: (3,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $G$ đến $BC,CA,AB$. Chứng minh: $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geq 6\sqrt{3}$
Bài 6: (3.0 điểm): Cho hình vuông $ABCD$, có độ dài cạnh bằng $a$. $E$ là 1 điểm di chuyển trên $CD$ ($E$ khác $C,D$). Đường thẳng $AE$ cắt đường thẳng $BC$ tại $F$, đường thẳng vuông góc với $AE$ tại $A$ cắt đường thẳng $CD$ tại $K$. Cm:
$a/$ $\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}$ không đổi.
$b/$ $cos\angle AKE=sin\angle EKF.cos\angle EFK+sin\angle EFK.cos\angle EKF$
Bài 7: (2,0 điểm): Trong hình chữ nhật kích thước $1mx2m$ lấy $201$ điểm tuỳ ý.
Cmr: Luôn tồn tại $5$ điểm ở trong một vòng tròn bán kính $\frac{1}{7}m$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-12-2013 - 19:57