Chủ đề này có 3 trả lời

[haianhngobg]

Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a+b+c=3.

Chứng minh rằng: $\frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{\left ( b+c-a \right )^{2}}{b^{2}+c^{2}+a^{2}+2bc}+\frac{\left ( c+a-b \right )^{2}}{c^{2}+a^{2}+b^{2}+2ca}\geq \frac{3}{5}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haianhngobg: 08-12-2013 - 14:49

[Hoang Tung 126]

Ta có :$\sum \frac{(a+b-c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab}=\sum \frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\geq \frac{3}{5}< = > \sum (\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}-1)\geq \frac{-12}{5}< = > \sum \frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{c(3-c)}{c^2+(3-c)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{1}{2c^2-6c+9}\leq \frac{3}{5}$

Mặt khác $\frac{1}{2c^2-6c+9}\leq \frac{2x+3}{25}< = > 2(c^3+c^3+1-3c^2)\geq 0$(Luôn đúng do theo bdt AM-GM có :$c^3+c^3+1\geq 3\sqrt[3]{c^6}=3c^2= > c^3+c^3+1-3c^2\geq 0$)

$= > \sum \frac{1}{2c^2-6c+9}\leq \sum \frac{2c+3}{25}=\frac{2\sum c+9}{25}=\frac{2.3+9}{25}=\frac{3}{5}$(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[NTPS2CBC]

$\frac{1}{2c^2-6c+9}\leq \frac{2x+3}{25}$

Cho mình hỏi làm sao bạn biết được bdt sẽ chứng minh như thế này vây?

[Hoang Tung 126]

Cho mình hỏi làm sao bạn biết được bdt sẽ chứng minh như thế này vây?

Mình dùng cân bằng hệ số thôi