Chủ đề này có 5 trả lời

[Anh Uyen Linh]

Cho x,y dương thoả mãn: $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$

Chứng minh: $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anh Uyen Linh: 09-12-2013 - 19:32

[thuan192]

 

Cho x,y dương thoả mãn: $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$

Chứng minh: $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

 

Ta có $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}\Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{2}+y^{4}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $y^{4}+y^{2}\geq 2y^{3}$

Do đó: $x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+2y^{3}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz, ta có :

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq \left [ \left ( \sqrt{x} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y} \right )^{2} \right ]\left [ \left ( \sqrt{x^{3}} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y^{3}} \right )^{2} \right ]=\left ( x+y \right )\left ( x^{3}+y^{3} \right )$

           $\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$  (2)

 Mặt khác $\left ( x+y \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2\left ( x+y \right )\Rightarrow x+y\leq 2$ (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra đpcm

[thuan192]

 

Cho x,y dương thoả mãn: $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$

Chứng minh: $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

 

 Đối với bài này ta cũng có thể chia các khoảng giá trị để chứng minh

            TH1:  x>1,y>1

             TH2  0<x$\leq$1; 0<y$\leq$1

             TH3   0<x$\leq$1; y>1

             TH4   x>1 vsf 0<y$\leq$1

[Anh Uyen Linh]

 Đối với bài này ta cũng có thể chia các khoảng giá trị để chứng minh

            TH1:  x>1,y>1

             TH2  0<x$\leq$1; 0<y$\leq$1

             TH3   0<x$\leq$1; y>1

             TH4   x>1 vsf 0<y$\leq$1

Từ giả thiết ta thấy không xảy ra TH x và y đều lớn hơn 1

 TH1: 0<x,  y$\leq$1 

=> $x^{3}\leq x^{2}\leq x\leq 1$ và $y^{3}\leq y^{2}\leq y \leq 1$ => dpcm

 TH2: 0<x$\leq$ 1 và y >1

=>x²(1-x)$\leq$ x^k(1-x)  và  y³(1-y)$\leq$ y^k(1-y)                           (k$\leq$ 2)

Mà x²+y³$\geq$x³+y⁴

=> x^k(1-k)+ y^k(1-k) $\geq$ x²(1-x) +  y³(1-y)$\geq$ 0

 Với k lần lượt bằng 0, 1,2=> dpcm

TH3: tương tự TH2

 

Làm thế này có đúng không bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anh Uyen Linh: 09-12-2013 - 20:32

[thuan192]

Từ giả thiết ta thấy không xảy ra TH x và y đều lớn hơn 1

 TH1: 0<x,  y$\leq$1 

=> $x^{3}\leq x^{2}\leq x\leq 1$ và $y^{3}\leq y^{2}\leq y \leq 1$ => dpcm

 TH2: 0<x$\leq$ 1 và y >1

=>x²(1-x)$\leq$ x^k(1-x)  và  y³(1-y)$\leq$ y^k(1-y)                           (k$\leq$ 2)

Mà x²+y³$\geq$x³+y⁴

=> x^k(1-k)+ y^k(1-k) $\geq$ x²(1-x)$\leq$ x^k(1-x) +  y³(1-y)$\leq$ y^k(1-y)  >0

 Với k lần lượt bằng 0, 1,2=> dpcm

TH3: tương tự TH2

 

Làm thế này có đúng không bạn

 Đúng rồi đó bạn !

[Nam pro]

Ta có $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}\Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{2}+y^{4}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $y^{4}+y^{2}\geq 2y^{3}$

Do đó: $x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+2y^{3}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz, ta có :

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq \left [ \left ( \sqrt{x} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y} \right )^{2} \right ]\left [ \left ( \sqrt{x^{3}} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y^{3}} \right )^{2} \right ]=\left ( x+y \right )\left ( x^{3}+y^{3} \right )$

           $\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$  (2)

 Mặt khác $\left ( x+y \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2\left ( x+y \right )\Rightarrow x+y\leq 2$ (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra đpcm

bạn có cách nào cm x^3+y^3<=2 luôn không?