Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh: $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Anh Uyen Linh

Anh Uyen Linh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nơi sâu thẳm của bóng đêm
  • Sở thích:Lời nói dối được nhiều người chấp nhận là sự thật thứ hai

Đã gửi 09-12-2013 - 19:31

Cho x,y dương thoả mãn: $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$

Chứng minh: $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anh Uyen Linh: 09-12-2013 - 19:32

*Đắng cay của cuộc sống... bỗng làm con người đổi thay . . . !! 

* Gian dối của hôm nay... sẽ làm con người vô cảm . . . 
* Có những vết cắt... Tuy đã LÀNH... 
• Nhưng... 
... Vẫn để lại SẸO... 
• Có những ký ức... 
... Tuy đã XÓA MỜ... 
• Nhưng ... Mãi là NỖI ĐAU..!

                                                              ~Mưa~


#2 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 09-12-2013 - 20:06

 

Cho x,y dương thoả mãn: $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$

Chứng minh: $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

 

Ta có $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}\Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{2}+y^{4}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $y^{4}+y^{2}\geq 2y^{3}$

Do đó: $x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+2y^{3}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz, ta có :

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq \left [ \left ( \sqrt{x} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y} \right )^{2} \right ]\left [ \left ( \sqrt{x^{3}} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y^{3}} \right )^{2} \right ]=\left ( x+y \right )\left ( x^{3}+y^{3} \right )$

           $\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$  (2)

 Mặt khác $\left ( x+y \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2\left ( x+y \right )\Rightarrow x+y\leq 2$ (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra đpcm


:lol:Thuận :lol:

#3 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 09-12-2013 - 20:12

 

Cho x,y dương thoả mãn: $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$

Chứng minh: $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

 

 Đối với bài này ta cũng có thể chia các khoảng giá trị để chứng minh

            TH1:  x>1,y>1

             TH2  0<x$\leq$1; 0<y$\leq$1

             TH3   0<x$\leq$1; y>1

             TH4   x>1 vsf 0<y$\leq$1


:lol:Thuận :lol:

#4 Anh Uyen Linh

Anh Uyen Linh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nơi sâu thẳm của bóng đêm
  • Sở thích:Lời nói dối được nhiều người chấp nhận là sự thật thứ hai

Đã gửi 09-12-2013 - 20:26

 Đối với bài này ta cũng có thể chia các khoảng giá trị để chứng minh

            TH1:  x>1,y>1

             TH2  0<x$\leq$1; 0<y$\leq$1

             TH3   0<x$\leq$1; y>1

             TH4   x>1 vsf 0<y$\leq$1

Từ giả thiết ta thấy không xảy ra TH x và y đều lớn hơn 1

 TH1: 0<x,  y$\leq$1 

=> $x^{3}\leq x^{2}\leq x\leq 1$ và $y^{3}\leq y^{2}\leq y \leq 1$ => dpcm

 TH2: 0<x$\leq$ 1 và y >1

=>x2(1-x)$\leq$ xk(1-x)  và  y3(1-y)$\leq$ yk(1-y)                           (k$\leq$ 2)

Mà x2+y3$\geq$x3+y4

=> xk(1-k)+ yk(1-k) $\geq$ x2(1-x) +  y3(1-y)$\geq$ 0

 Với k lần lượt bằng 0, 1,2=> dpcm

TH3: tương tự TH2

 

Làm thế này có đúng không bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anh Uyen Linh: 09-12-2013 - 20:32

*Đắng cay của cuộc sống... bỗng làm con người đổi thay . . . !! 

* Gian dối của hôm nay... sẽ làm con người vô cảm . . . 
* Có những vết cắt... Tuy đã LÀNH... 
• Nhưng... 
... Vẫn để lại SẸO... 
• Có những ký ức... 
... Tuy đã XÓA MỜ... 
• Nhưng ... Mãi là NỖI ĐAU..!

                                                              ~Mưa~


#5 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 09-12-2013 - 20:32

Từ giả thiết ta thấy không xảy ra TH x và y đều lớn hơn 1

 TH1: 0<x,  y$\leq$1 

=> $x^{3}\leq x^{2}\leq x\leq 1$ và $y^{3}\leq y^{2}\leq y \leq 1$ => dpcm

 TH2: 0<x$\leq$ 1 và y >1

=>x2(1-x)$\leq$ xk(1-x)  và  y3(1-y)$\leq$ yk(1-y)                           (k$\leq$ 2)

Mà x2+y3$\geq$x3+y4

=> xk(1-k)+ yk(1-k) $\geq$ x2(1-x)$\leq$ xk(1-x) +  y3(1-y)$\leq$ yk(1-y)  >0

 Với k lần lượt bằng 0, 1,2=> dpcm

TH3: tương tự TH2

 

Làm thế này có đúng không bạn

 Đúng rồi đó bạn !


:lol:Thuận :lol:

#6 Nam pro

Nam pro

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thế giới
  • Sở thích:thở

Đã gửi 15-05-2019 - 10:44

Ta có $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}\Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{2}+y^{4}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $y^{4}+y^{2}\geq 2y^{3}$

Do đó: $x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+2y^{3}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz, ta có :

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq \left [ \left ( \sqrt{x} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y} \right )^{2} \right ]\left [ \left ( \sqrt{x^{3}} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y^{3}} \right )^{2} \right ]=\left ( x+y \right )\left ( x^{3}+y^{3} \right )$

           $\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$  (2)

 Mặt khác $\left ( x+y \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2\left ( x+y \right )\Rightarrow x+y\leq 2$ (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra đpcm

bạn có cách nào cm x^3+y^3<=2 luôn không?


Không có gì hủy hoại những khả năng toán học bằng thói quen tiếp nhận những phương pháp giải có sẵn mà không hề tự hỏi vì sao cần giải đúng như thế và làm thế nào để có thể tự nghĩ ra điều đó.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh