Chứng minh: $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anh Uyen Linh: 09-12-2013 - 19:32
Chứng minh: $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anh Uyen Linh: 09-12-2013 - 19:32
*Đắng cay của cuộc sống... bỗng làm con người đổi thay . . . !!
* Gian dối của hôm nay... sẽ làm con người vô cảm . . .
* Có những vết cắt... Tuy đã LÀNH...
• Nhưng...
... Vẫn để lại SẸO...
• Có những ký ức...
... Tuy đã XÓA MỜ...
• Nhưng ... Mãi là NỖI ĐAU..!
~Mưa~
Cho x,y dương thoả mãn: $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$Chứng minh: $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
Ta có $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}\Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{2}+y^{4}$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $y^{4}+y^{2}\geq 2y^{3}$
Do đó: $x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+2y^{3}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)
Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz, ta có :
$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq \left [ \left ( \sqrt{x} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y} \right )^{2} \right ]\left [ \left ( \sqrt{x^{3}} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y^{3}} \right )^{2} \right ]=\left ( x+y \right )\left ( x^{3}+y^{3} \right )$
$\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$ (2)
Mặt khác $\left ( x+y \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2\left ( x+y \right )\Rightarrow x+y\leq 2$ (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra đpcm
Cho x,y dương thoả mãn: $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$Chứng minh: $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
Đối với bài này ta cũng có thể chia các khoảng giá trị để chứng minh
TH1: x>1,y>1
TH2 0<x$\leq$1; 0<y$\leq$1
TH3 0<x$\leq$1; y>1
TH4 x>1 vsf 0<y$\leq$1
Đối với bài này ta cũng có thể chia các khoảng giá trị để chứng minh
TH1: x>1,y>1
TH2 0<x$\leq$1; 0<y$\leq$1
TH3 0<x$\leq$1; y>1
TH4 x>1 vsf 0<y$\leq$1
Từ giả thiết ta thấy không xảy ra TH x và y đều lớn hơn 1
TH1: 0<x, y$\leq$1
=> $x^{3}\leq x^{2}\leq x\leq 1$ và $y^{3}\leq y^{2}\leq y \leq 1$ => dpcm
TH2: 0<x$\leq$ 1 và y >1
=>x2(1-x)$\leq$ xk(1-x) và y3(1-y)$\leq$ yk(1-y) (k$\leq$ 2)
Mà x2+y3$\geq$x3+y4
=> xk(1-k)+ yk(1-k) $\geq$ x2(1-x) + y3(1-y)$\geq$ 0
Với k lần lượt bằng 0, 1,2=> dpcm
TH3: tương tự TH2
Làm thế này có đúng không bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anh Uyen Linh: 09-12-2013 - 20:32
*Đắng cay của cuộc sống... bỗng làm con người đổi thay . . . !!
* Gian dối của hôm nay... sẽ làm con người vô cảm . . .
* Có những vết cắt... Tuy đã LÀNH...
• Nhưng...
... Vẫn để lại SẸO...
• Có những ký ức...
... Tuy đã XÓA MỜ...
• Nhưng ... Mãi là NỖI ĐAU..!
~Mưa~
Từ giả thiết ta thấy không xảy ra TH x và y đều lớn hơn 1
TH1: 0<x, y$\leq$1
=> $x^{3}\leq x^{2}\leq x\leq 1$ và $y^{3}\leq y^{2}\leq y \leq 1$ => dpcm
TH2: 0<x$\leq$ 1 và y >1
=>x2(1-x)$\leq$ xk(1-x) và y3(1-y)$\leq$ yk(1-y) (k$\leq$ 2)
Mà x2+y3$\geq$x3+y4
=> xk(1-k)+ yk(1-k) $\geq$ x2(1-x)$\leq$ xk(1-x) + y3(1-y)$\leq$ yk(1-y) >0
Với k lần lượt bằng 0, 1,2=> dpcm
TH3: tương tự TH2
Làm thế này có đúng không bạn
Đúng rồi đó bạn !
Ta có $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}\Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{2}+y^{4}$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $y^{4}+y^{2}\geq 2y^{3}$
Do đó: $x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+2y^{3}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)
Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz, ta có :
$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq \left [ \left ( \sqrt{x} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y} \right )^{2} \right ]\left [ \left ( \sqrt{x^{3}} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y^{3}} \right )^{2} \right ]=\left ( x+y \right )\left ( x^{3}+y^{3} \right )$
$\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$ (2)
Mặt khác $\left ( x+y \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2\left ( x+y \right )\Rightarrow x+y\leq 2$ (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra đpcm
bạn có cách nào cm x^3+y^3<=2 luôn không?
Không có gì hủy hoại những khả năng toán học bằng thói quen tiếp nhận những phương pháp giải có sẵn mà không hề tự hỏi vì sao cần giải đúng như thế và làm thế nào để có thể tự nghĩ ra điều đó.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh