Cho mình hỏi các pro cái nha! Thanhs very much...
1. Cho f(x) +f($\left ( \frac{1}{1-x} \right )$) = x ($1$)
Xác định công thức tính giá trị f(x) theo x.
Đặt $\frac{1}{1-t}=x\Rightarrow \frac{t-1}{t}=\frac{1}{1-x}$
Khi đó từ ($1$) ta có:
$f\left ( \frac{1}{1-t} \right )+f\left ( \frac{t-1}{t} \right )=\frac{1}{1-t}$ ($2$)
Đặt $\frac{t-1}{t}=z\Rightarrow \frac{1}{1-t}=\frac{ z-1}{z}$
Khi đó từ ($2$) ta có:
$f\left ( \frac{ z-1}{z} \right )+f(z)=\frac{z-1}{z}$ ($3$)
Từ ($1$) ($2$) ($3$) suy ra ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sau:
$\left\{\begin{matrix} f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x}\right )=x(4)\\ f\left ( \frac{1}{1-x} \right )+f\left ( \frac{x-1}{x} \right )=\frac{1}{1-x}(5)\\ f(x)+f\left (\frac{x-1}{x}\right )=\frac{x-1}{x}(6)\\ \end{matrix}\right.$
Lấy ($4$) cộng theo vế với ($6$), rồi trừ vế theo vế với ($5$), ta có:
$2f(x)=x+\frac{x-1}{x}-\frac{1}{1-x}$
$\Rightarrow f(x)=\frac{x^3-x+1}{x(x-1)}$ ($7$)
Thử lại ta thấy $f(x)$ xác định bởi ($7$) thỏa mãn ($1$), suy ra ($7$) là dạng của hàm số $f(x)$ cần tìm. Đó là hàm duy nhất cần tìm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 15-12-2013 - 13:55