Chủ đề này có 4 trả lời

[Lugiahooh]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương, chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$$

[luuvanthai]

Do bdt đồng bậc nên ta chuẩn hoá $\sum a^{2}=3$

Dùng Côsi có $b^{2}+2c\leq \frac{b^{2}+1}{2}+c^{2}+1$

Đăt $a^{2}=x;b^{2}=y;c^{2}=z$ thì $x+y+z=3$

Ta chỉ cần chứng minh $P=\sum \frac{x}{y+2z+3}\geq \frac{1}{2}$

AD Cáuhy Shawars có $P=\sum \frac{x^{2}}{yx+2zx+3x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3(xy+yz+zx)+3(x+y+z)}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xy+yz+zx\geq (x+y+z)^{2}= 3(x+y+z)$

Luôn đúng vì $x+y+z=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 15-12-2013 - 09:58

[canhhoang30011999]

Do bdt đồng bậc nên ta chuẩn hoá $\sum a^{2}=3$

Dùng Côsi có $b^{2}+2c\leq \frac{b^{2}+1}{2}+c^{2}+1$

Đăt $a^{2}=x;b^{2}=y;c^{2}=z$ thì $x+y+z=3$

Ta chỉ cần chứng minh $P=\sum \frac{x}{y+2z+3}\geq \frac{1}{2}$

AD Cáuhy Shawars có $P=\sum \frac{x^{2}}{yx+2zx+3x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3(xy+yz+zx)+3(x+y+z)}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xy+yz+zx\geq (x+y+z)^{2}\geq 3(x+y+z)$

Luôn đúng vì $x+y+z=3$

đề là $\sum \frac{a^{2}}{b+2c}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$ mà bạn

[luuvanthai]

đề là $\sum \frac{a^{2}}{b+2c}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$ mà bạn

Do 2 vế của bất đẳng thức đồng bậc 1 nên ta có thể chuẩn hoá được bất kỳ các đại lượng như $a^{2}+b^{2}+c^{2}=k;$ hay $a+b+c=k$

Do em mới học lớp 9 nên có lẽ là không biết.Ta có thể đổi biến nếu không biết chuẩn hoá:

Đặt $a^{2}=\frac{3x^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}};b^{2}=\frac{3y^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}};c^{2}=\frac{3z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 

Thế thì $\sum a^{2}=3$ là ok ngay mà/

[canhhoang30011999]

Do bdt đồng bậc nên ta chuẩn hoá $\sum a^{2}=3$

Dùng Côsi có $b^{2}+2c\leq \frac{b^{2}+1}{2}+c^{2}+1$

Đăt $a^{2}=x;b^{2}=y;c^{2}=z$ thì $x+y+z=3$

Ta chỉ cần chứng minh $P=\sum \frac{x}{y+2z+3}\geq \frac{1}{2}$

AD Cáuhy Shawars có $P=\sum \frac{x^{2}}{yx+2zx+3x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3(xy+yz+zx)+3(x+y+z)}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xy+yz+zx\geq (x+y+z)^{2}= 3(x+y+z)$

Luôn đúng vì $x+y+z=3$

em nghĩ cái này là b chứ