Chủ đề này có 6 trả lời

[E. Galois]

Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 05/12/2013

Câu 1. (2,5đ)

Cho hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Tìm những điểm $M$ trên đồ thị $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $M$ cắt các trục $Ox, Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$. Biết trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$ nằm trên đường thẳng $d:2x+y=0$.

 

Câu 2.(2,5đ)

Cho phương trình bậc ba $x^3-5x-3=0$. Gọi $x_1,x_2,x_3$ là ba nghiệm của phương trình đã cho. Không giải phương trình hãy tính tổng $S = x_1^{10}+x_2^{10}+x_3^{10}$.

 

Câu 3.(2,5đ)

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :

$$\left\{ \begin{array}{l}2^x - 2^{2 - y} + \ln \frac{x}{{2 - y}} = 0 \\ y^2 + 15y - xy + 2x + 5 = 0 \end{array} \right.$$

Câu 4.(3đ)

Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi:

$$\left\{ \begin{array}{l}x_1 = 2 + \sqrt 3 \\ x_n = \frac{{x_{n - 1}^2 }}{{2\left( {x_{n - 1} - \sqrt 3 } \right)}} \end{array} \right.,\forall n \ge 2$$
Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$. Từ đó suy ra giới hạn: $\lim_{n \to \infty} \frac{{1 + 2013x_n }}{{x_n }}$

Câu 5.(3đ) Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:

\[
\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + xy} \ge 1 + \sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {xz} 
\]

 

Câu 6.(6,5đ) Cho tam giác $ABC$, có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{5}{2}$

a) Với giá trị trên, xét trong mặt phẳng $Oxy$, gọi $D(3;-2)$ là một điểm thuộc đường thẳng $AB$. Từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ kẻ các đường trung tuyến, đường phân giác trong lần lượt có phương trình:

\[
d_1 :4x + 5y - 14 = 0,d_2 :x + y - 3 = 0
\]

Tìm tọa độ các đỉnh $B, C$ của tam giác $ABC$. Biết rằng hoành độ các điểm $B,C$ đều dương.

b) Gọi $M$ là một điểm bất kì trong tam giác $ABC$, còn $a,b,c,h_a,h_b,h_c$ lần lượt là độ dài các cạnh, độ dài đường cao kẻ từ các đỉnh $A,B,C$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

 

\[
MA.h_a + MB.h_b + MC.h_c \ge \frac{{\sqrt 3 }}{5}abc
\]

--- Hết ---

BBT xin trân trọng cảm ơn thầy Cao Hải Vân, Giáo viên Trường THPT Nguyễn Chí Thanh - Pleiku - Gia Lai đã cung cấp cho chúng tôi đề thi này. 

[Primary]

Câu 3.(2,5đ)

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :

$$\left\{ \begin{array}{l}2^x - 2^{2 - y} + \ln \frac{x}{{2 - y}} = 0 \\ y^2 + 15y - xy + 2x + 5 = 0 \end{array} \right.$$

Em không thấy thảo luận tại đây là chỗ nào nên làm ở đây vậy

Câu 3:

 

ĐK: $\frac{x}{2-y}>0$

 

Nếu $x>2-y>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2^x>2^{2-y} & & \\ \frac{x}{2-y}>1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow 2^x-2^{2-y}+\ln\frac{x}{2-y}>0$  (Vô lí !)

 

 Nếu $x<2-y<0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2^x<2^{2-y} & & \\ \frac{x}{2-y}<1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow 2^x-2^{2-y}+\ln\frac{x}{2-y}<0$  (Vô lí !)

 

Do đó $x=2-y$. Thay vào phương trình thứ 2 của hệ được:  

 

 $2y^2+11y+9=0\Leftrightarrow y=-1$   $\vee$   $ y=-\frac{9}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=3 & & \\ y=-1 & & \end{matrix}\right. $$\vee$       $ \left\{\begin{matrix}x=\frac{13}{2} & & \\ y=-\frac{9}{2} & & \end{matrix}\right.$

 

Thử lại thấy 2 nghiệm này thỏa

[Tru09]

Bài 3 :

Ta có $x^3 -5x -3 =0$

$\Rightarrow x_{1}^n -5x_{2}^{n-1} -3x^{n-2} =0$

Tương tự với $x_2$ và $x_3$

Đặt $S_n =x_1^n +x_2^n +x_3^n$

$\Rightarrow S_n=5S_{n-1}+3S_{n-2}$

Ta có $S_1 =0$

$S_2 =10$

$S_3=50$

$\Rightarrow S_4=280$

$\Rightarrow S_5=1500$

$\Rightarrow S_6=8340$

$\Rightarrow S_7=46200$

$\Rightarrow S_8=256020$

$\Rightarrow S_9=14718700$

$\Rightarrow S_10 =7861560$

 

[luuvanthai]

Câu 5:$x+yz=1-y-z+yz=(1-y)(1-z)=(x+z)(x+y)\geq (x+$\sqrt{yz}$)^{2}$ (Bunhia)
$\Leftrightarrow \sqrt{x+yz}\geq x+\sqrt{yz}$
Cộng tất cả lại có đpcm


Câu 1:DK a $\neq -1$$y'=\frac{2}{(x+1)^{2}}$
Giả sử $M(a;\frac{a-1}{a+1})$
Phương trình tiếp tuyến có dạng:$y=\frac{2}{(1+a)^{2}}(x-a)+\frac{a-1}{a+1}$
x=0 thì $y=\frac{a^{2}-2a-1}{(a+1)^{2}}$$\Rightarrow A(0;\frac{a^{2}-2a-1}{(a+1)^{2}})$
y=0 thì $x=\frac{-a^{2}+2a+1}{2}$$\Rightarrow B(\frac{-a^{2}+2a+1}{2})$
Trọng tâm $G(\frac{-a^{2}+2a+1}{6};\frac{a^{2}-2a-1}{3(a+1)^{2}})$
Do đó$(a^{2}+2a)(-a^{2}+2a-1)=0$
$\Leftrightarrow .............$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-12-2013 - 19:06

[haitienbg]

Bạn àm cụ thể hơn được không? Mình nghĩ có sự nhầm lẫn ở đây

Ta có:

$x_{n}-2\sqrt{3}=\frac{(x_{n-1}-2\sqrt{3})^2}{2(x_{n-1}-\sqrt{3})}$

$\frac{x_{n}}{x_{n}-2\sqrt{3}}=\frac{x_{n-1}^2}{(x_{n-1}-2\sqrt{3})^2}$            (xét dkxd để chia)

Do đó::

$\frac{x_{n}}{x_{n}-2\sqrt{3}}=\frac{x_{n-1}^2}{(x_{n-1}-2\sqrt{3})^2}=....=\frac{x_{1}^{2(n-1)}}{(x_{1}-2\sqrt{3})^{2(n-1)}}$

Đến đây dễ tìm ra được ct tq

[datyaly2008]

Đặt $u_n=\frac{x_n}{x_n-2\sqrt{3}}$.

Khi đó, ta được $u_n=u_{n-1}^2 \Rightarrow ln(u_n)=2ln(u_{n-1})$

Đặt $v_n=ln(u_n)$ đến đây ta được dãy cấp số nhân....ĐS

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datyaly2008: 18-12-2013 - 00:58

[kfcchicken98]

bài 5

bđt tương đương $\frac{x}{\sqrt{x+yz}+\sqrt{yz}}+\frac{y}{\sqrt{y+xz}+\sqrt{xz}}+\frac{z}{\sqrt{z+xy}+\sqrt{xy}}\geq 1$

ta có $\frac{x}{\sqrt{x+yz}+\sqrt{yz}}+\frac{y}{\sqrt{y+xz}+\sqrt{xz}}+\frac{z}{\sqrt{z+xy}+\sqrt{xy}}= \sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}+\sqrt{yz}}\geq \sum \frac{x}{{\frac{x+1}{2}+\frac{y+z}{2}}}=\sum \frac{2x}{2}=\sum x=x+y+z=1$ 

đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 18-12-2013 - 03:50