Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 05/12/2013
Câu 1. (2,5đ)
Cho hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Tìm những điểm $M$ trên đồ thị $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $M$ cắt các trục $Ox, Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$. Biết trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$ nằm trên đường thẳng $d:2x+y=0$.
Câu 2.(2,5đ)
Cho phương trình bậc ba $x^3-5x-3=0$. Gọi $x_1,x_2,x_3$ là ba nghiệm của phương trình đã cho. Không giải phương trình hãy tính tổng $S = x_1^{10}+x_2^{10}+x_3^{10}$.
Câu 3.(2,5đ)
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :
$$\left\{ \begin{array}{l}2^x - 2^{2 - y} + \ln \frac{x}{{2 - y}} = 0 \\ y^2 + 15y - xy + 2x + 5 = 0 \end{array} \right.$$
Câu 4.(3đ)
Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi:
$$\left\{ \begin{array}{l}x_1 = 2 + \sqrt 3 \\ x_n = \frac{{x_{n - 1}^2 }}{{2\left( {x_{n - 1} - \sqrt 3 } \right)}} \end{array} \right.,\forall n \ge 2$$
Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$. Từ đó suy ra giới hạn: $\lim_{n \to \infty} \frac{{1 + 2013x_n }}{{x_n }}$
Câu 5.(3đ) Cho $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:
\[
\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + xy} \ge 1 + \sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {xz}
\]
Câu 6.(6,5đ) Cho tam giác $ABC$, có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{5}{2}$
a) Với giá trị trên, xét trong mặt phẳng $Oxy$, gọi $D(3;-2)$ là một điểm thuộc đường thẳng $AB$. Từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ kẻ các đường trung tuyến, đường phân giác trong lần lượt có phương trình:
\[
d_1 :4x + 5y - 14 = 0,d_2 :x + y - 3 = 0
\]
Tìm tọa độ các đỉnh $B, C$ của tam giác $ABC$. Biết rằng hoành độ các điểm $B,C$ đều dương.
b) Gọi $M$ là một điểm bất kì trong tam giác $ABC$, còn $a,b,c,h_a,h_b,h_c$ lần lượt là độ dài các cạnh, độ dài đường cao kẻ từ các đỉnh $A,B,C$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
\[
MA.h_a + MB.h_b + MC.h_c \ge \frac{{\sqrt 3 }}{5}abc
\]
--- Hết ---
BBT xin trân trọng cảm ơn thầy Cao Hải Vân, Giáo viên Trường THPT Nguyễn Chí Thanh - Pleiku - Gia Lai đã cung cấp cho chúng tôi đề thi này.