Đây là TOPIC ôn thi phần BĐT,Cực trị cho các bạn thi HSG lớp 9, mong rằng TOPIC sẽ được ủng hộ và phát triển.
Chuyên đề: Bất đẳng thức - Cực trị
1) Một số tính chất:
1.1) Tính chất bắc cầu: $a<b;b<c$ $\Rightarrow a<c$
1.2) Cộng 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số: $a<b$ $\Rightarrow a+c< b+c$
1.3) Nhân 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số:
- Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac< bc$
- Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac> bc$
1.4) Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:
- Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a+c< b+d$
1.5) Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều:
- Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a-c< b-d$
1.6) Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều có hai vế không âm:
- Nếu $\left\{\begin{matrix}a> b\geq 0 & & \\ c> d\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac> bd$
1.7) Nâng lên luỹ thừa:
- Nếu $a> b> 0\Rightarrow a^{n}> b^{n}(n\in \mathbb{N}^*)$
- $a> b \Rightarrow a^{n}> b^{n}$ ($n$ lẻ)
1.8) So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số:
- Nếu $\left\{\begin{matrix}m,n\in \mathbb{N}^* & & \\ m>n & & \end{matrix}\right.$
$\rightarrow \left\{\begin{matrix}a> 1 \Rightarrow a^{m}> a^{n} & & \\ a=1 \Rightarrow a^{m}=a^{n} & & \\ a<1 \Rightarrow a^{m}< a^{n} \end{matrix}\right.$
1.9) Lấy nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức cùng dấu:
- Nếu $\left\{\begin{matrix}a> b & & \\ ab> 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
1.10) Cộng vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số:
- Nếu $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 & & \\ \frac{a}{b}>1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}$
2) Các bất đẳng thức thường gặp:
2.1) $a^{2}\geq 0\forall a$. Dấu "=" có khi: $a=0$.
2.2) $|a|\geq 0\forall a$. Dấu "=" có khi: $a=0$.
2.3) $|a|\geq a\forall a$. Dấu "=" có khi: $a\geq 0$.
2.4) $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" có khi: $ab\geq 0$.
2.5) $|a|-|b|\leq |a-b|$. Dấu "=" có khi: $\left\{\begin{matrix}ab\geq 0 & & \\ |a|\geq |b| & & \end{matrix}\right.$.
2.6) $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$. Dấu "=" có khi: $a=b$
2.7) $(a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq \left(\frac{(a+b)}{2}\right)^{2}$. Dấu "=" có khi: $a=-b$.
2.8) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a;b> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$.
2.9) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2~~(ab> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$.
2.10) Các bất đẳng thức cổ điển:
a) Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM):
Với $n$ số thực dương: $a_{1};a_{2};...;a_{n}$
Dạng 1: $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$
Dạng 2: $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$
Dạng 3: $(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n})^{n}\geq a_{1}a_{2}...a_{n}$
Dấu "=" có khi: $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$
b) Bất đẳng thức BCS (Bunhiakovsky):
Với 2 bộ số thực bất kì: ($a_{1};a_{2};...;a_{n}$);($b_{1};b_{2};...;b_{n}$):
Dạng 1: $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$
Dạng 2: $|a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}|\leq \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}}$
Dấu "=" có khi: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$
Dạng 3: $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}\leq \sqrt{(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})}$
Dấu "=" có khI: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}>0$
c) Bất đẳng thức BCS dạng cộng mẫu: (Cauchy-Swarchz)
Với $\forall x_{i}>0;i=\overline{1,n}$ ta có:
$\frac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{x_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}$
Chứng minh: Xét $(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}=(\frac{a_{1}}{\sqrt{x_{1}}}.\sqrt{x_{1}}+\frac{a_{2}}{\sqrt{x_{2}}}.\sqrt{x_{2}}+...+\frac{a_{n}}{\sqrt{x_{n}}}.\sqrt{x_{n}})^{2}\leq (\frac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{x_{n}})(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})$ (Áp dụng BCS)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
d) Bất đẳng thức Minkopsky:
Cho 2 dãy số thực dương: $(a_{1};a_{2};...;a_{n});(b_{1};b_{2};...;b_{n})$ ta có:
$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})^{2}}$
Dấu "=" xảy ra khI: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$.
e) Bất đẳng thức Holder:
(Dạng thường dùng)
Cho $a,b,c,x,y,z,m,n,p>0$ ta có:
$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})\geq (axm+byn+czp)^{3}$
Dấu $"="$ xảy ra khi: các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau.
f) Bất đẳng thức Schur:
Dạng tổng quát:
Cho $a,b,c\geq 0$ và $t > 0$ ta có : $a^{t}(a-b)(a-c)+b^{t}(b-c)(b-a)+c^{t}(c-a)(c-b)\geq 0.$
Đẳng thức xảy ra khi : $a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: $t=1$ và $t=2$
Trong trường hợp $t=1$ thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :
$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$ .
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)$
$\Leftrightarrow 4(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^{3}+9abc$
Hệ quả rất thông dụng: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$
Với $t=2$ ta có dạng quen thuộc hơn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(a+c)+c^{3}(a+b)$
g) Bất đẳng thức Trê bư sép (Chebyshev)
Với $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{m}$ thì:
$m(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{n}+...+a_{m}b_{m})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{m})(b_{1}+b_{2}+...+b_{m}).$
Dấu $"="$ xảy ra khi : $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}$ và $ b_{1}=b_{2}=...=b_{m}.$
Nếu $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $ b_{1}\leq b_{2}\leq ...\leq b_{m}$ thì BĐT trên đổi chiều.
h) Bất đẳng thức Nesbit:
2 trường hợp cơ bản:
BĐT Nesbitt 3 biến : Với $ a,b,c >0$ thì $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}$
BĐT Nesbitt 4 biến : với $a,b,c,d >0$ thì :$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a} +\dfrac{d}{a+b}\geq 2$
Dấu $"="$ xảy ra khi các biến bằng nhau
3) các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp:
- Phương pháp biến đổi tương đương.
- Phương pháp sử dựng các bất đẳng thức cổ điển và sử dụng các bất đẳng thức phụ đã biết (xem tại đây).
- Phương pháp làm trội, làm giảm.
- Phương pháp dồn biến, đổi biến.
- Phương pháp tách bình phương.
- Phương pháp hình học.
- Phương pháp phản chứng.
- Phương pháp quy nạp.
4) Một số hằng đẳng thức thường dùng:
7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các hằng đẳng thức cở bản ($(a\pm b\pm c\pm d\pm...)^2;a^n\pm b^n;...$) thì không nói nữa.
$1)$ $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
$2)$ $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
$3)$ $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc$
$4)$ $ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3}$
$5)$ $ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$
$6)$ $(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2$
$7)$ $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$ (Đây là hệ quả của đẳng thức số $2$)
Bài tập: Phương pháp biến đổi tương đương:
1) Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)$4x^{2}+4y^{2}+6x+3\geq 4xy \forall x;y$
b)$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3} \forall a;b$
c)$x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+14> 2x+12y+6z$
d)$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\forall a;b;c$
e)$(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
g)$1+a\geq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^{2}}\forall a> 0$
h)$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}\forall a;b> 0$
Các bài làm rồi sẽ được tô màu đỏ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 15-09-2014 - 12:49