Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 738 trả lời

#1 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 15-12-2013 - 22:50

*
Phổ biến

Đây là TOPIC ôn thi phần BĐT,Cực trị cho các bạn thi HSG lớp 9, mong rằng TOPIC sẽ được ủng hộ và phát triển.

Chuyên đề: Bất đẳng thức - Cực trị

 

1) Một số tính chất:
1.1) Tính chất bắc cầu: $a<b;b<c$ $\Rightarrow a<c$

1.2) Cộng 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số: $a<b$ $\Rightarrow a+c< b+c$

1.3) Nhân 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số:

  • Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac< bc$
  • Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac> bc$

1.4) Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:

  • Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a+c< b+d$

1.5) Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều:

  • Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a-c< b-d$

1.6) Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều có hai vế không âm:

  • Nếu $\left\{\begin{matrix}a> b\geq 0 & & \\ c> d\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac> bd$

1.7) Nâng lên luỹ thừa:

  • Nếu $a> b> 0\Rightarrow a^{n}> b^{n}(n\in \mathbb{N}^*)$
  • $a> b \Rightarrow a^{n}> b^{n}$ ($n$ lẻ)

1.8) So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số:

  • Nếu $\left\{\begin{matrix}m,n\in \mathbb{N}^* & & \\ m>n & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix}a> 1 \Rightarrow a^{m}> a^{n} & & \\ a=1 \Rightarrow a^{m}=a^{n} & & \\ a<1 \Rightarrow a^{m}< a^{n} \end{matrix}\right.$

1.9) Lấy nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức cùng dấu:

  • Nếu $\left\{\begin{matrix}a> b & & \\ ab> 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

1.10) Cộng vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số:

  • Nếu $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 & & \\ \frac{a}{b}>1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}$

2) Các bất đẳng thức thường gặp:

2.1) $a^{2}\geq 0\forall a$. Dấu "=" có khi: $a=0$.

2.2) $|a|\geq 0\forall a$. Dấu "=" có khi: $a=0$.

2.3) $|a|\geq a\forall a$. Dấu "=" có khi: $a\geq 0$.

2.4) $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" có khi: $ab\geq 0$.

2.5) $|a|-|b|\leq |a-b|$. Dấu "=" có khi: $\left\{\begin{matrix}ab\geq 0 & & \\ |a|\geq |b| & & \end{matrix}\right.$.

2.6) $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$. Dấu "=" có khi: $a=b$

2.7) $(a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq \left(\frac{(a+b)}{2}\right)^{2}$. Dấu "=" có khi: $a=-b$.

2.8) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a;b> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$.

2.9) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2~~(ab> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$.

2.10) Các bất đẳng thức cổ điển:

a) Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM):

Với $n$ số thực dương: $a_{1};a_{2};...;a_{n}$

Dạng 1: $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$

Dạng 2: $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$

Dạng 3: $(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n})^{n}\geq a_{1}a_{2}...a_{n}$

Dấu "=" có khi: $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

b) Bất đẳng thức BCS (Bunhiakovsky):
Với 2 bộ số thực bất kì: ($a_{1};a_{2};...;a_{n}$);($b_{1};b_{2};...;b_{n}$):
Dạng 1: $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$

Dạng 2: $|a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}|\leq \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}}$

Dấu "=" có khi: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$

Dạng 3: $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}\leq \sqrt{(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})}$

Dấu "=" có khI: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}>0$

c) Bất đẳng thức BCS dạng cộng mẫu: (Cauchy-Swarchz)

Với $\forall x_{i}>0;i=\overline{1,n}$ ta có:

$\frac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{x_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}$

Chứng minh: Xét $(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}=(\frac{a_{1}}{\sqrt{x_{1}}}.\sqrt{x_{1}}+\frac{a_{2}}{\sqrt{x_{2}}}.\sqrt{x_{2}}+...+\frac{a_{n}}{\sqrt{x_{n}}}.\sqrt{x_{n}})^{2}\leq (\frac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{x_{n}})(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})$ (Áp dụng BCS)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

d) Bất đẳng thức Minkopsky:

Cho 2 dãy số thực dương: $(a_{1};a_{2};...;a_{n});(b_{1};b_{2};...;b_{n})$ ta có:

$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})^{2}}$

Dấu "=" xảy ra khI: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$.

e) Bất đẳng thức Holder:

(Dạng thường dùng)

Cho $a,b,c,x,y,z,m,n,p>0$ ta có:

$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})\geq (axm+byn+czp)^{3}$
Dấu $"="$ xảy ra khi: các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau. 

f) Bất đẳng thức Schur:

Dạng tổng quát:
Cho $a,b,c\geq 0$ và $t > 0$ ta có : $a^{t}(a-b)(a-c)+b^{t}(b-c)(b-a)+c^{t}(c-a)(c-b)\geq 0.$
Đẳng thức xảy ra khi : $a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: $t=1$ và $t=2$
Trong trường hợp $t=1$ thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :

$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$ .
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)$
$\Leftrightarrow 4(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^{3}+9abc$
Hệ quả rất thông dụng: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$
Với $t=2$ ta có dạng quen thuộc hơn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(a+c)+c^{3}(a+b)$

g) Bất đẳng thức Trê bư sép (Chebyshev)

Với $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{m}$ thì:
$m(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{n}+...+a_{m}b_{m})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{m})(b_{1}+b_{2}+...+b_{m}).$
Dấu $"="$ xảy ra khi : $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}$ và $ b_{1}=b_{2}=...=b_{m}.$
Nếu $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $ b_{1}\leq b_{2}\leq ...\leq b_{m}$ thì BĐT trên đổi chiều.

h) Bất đẳng thức Nesbit:
2 trường hợp cơ bản:

BĐT Nesbitt 3 biến : Với $ a,b,c >0$ thì $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}$
BĐT Nesbitt 4 biến : với $a,b,c,d >0$ thì :$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a} +\dfrac{d}{a+b}\geq 2$
Dấu $"="$ xảy ra khi các biến bằng nhau

3) các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp:

  • Phương pháp biến đổi tương đương.
  • Phương pháp sử dựng các bất đẳng thức cổ điển và sử dụng các bất đẳng thức phụ đã biết (xem tại đây). 
  • Phương pháp làm trội, làm giảm.
  • Phương pháp dồn biến, đổi biến.
  • Phương pháp tách bình phương.
  • Phương pháp hình học.
  • Phương pháp phản chứng.
  • Phương pháp quy nạp.

4) Một số hằng đẳng thức thường dùng:

7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các hằng đẳng thức cở bản ($(a\pm b\pm c\pm d\pm...)^2;a^n\pm b^n;...$) thì không nói nữa.

 

$1)$ $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

$2)$ $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$3)$ $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc$

$4)$ $ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3}$

$5)$ $ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$

$6)$ $(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2$

$7)$ $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$ (Đây là hệ quả của đẳng thức số $2$)

 

Bài tập: Phương pháp biến đổi tương đương:

1) Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)$4x^{2}+4y^{2}+6x+3\geq 4xy \forall x;y$

b)$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3} \forall a;b$

c)$x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+14> 2x+12y+6z$

d)$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\forall a;b;c$

e)$(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

g)$1+a\geq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^{2}}\forall a> 0$

h)$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}\forall a;b> 0$
 

Các bài làm rồi sẽ được tô màu đỏ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 15-09-2014 - 12:49


#2 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 15-12-2013 - 22:54

2) Chứng minh bất đẳng thức:

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

3) Chứng minh rằng: $\forall a;b> 0$ ta có:

$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

4) Cho $a;b\in (-1;1)$, chứng minh:

$|a+b|< |1+ab|$

5) Cho $a;b;c$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix}abc=1 & & \\ a> \sqrt[3]{36} & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh: $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

6) Cho $a+b\geq 2$. Cmr: $a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$                                

7) Cho $a> 1$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}$                                

8) Cm: $a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq 6abc \forall a;b;c$                              

9) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 & & \\ \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1 & & \end{matrix}\right.$                       Cmr: $3(ab+bc+ca)\geq abc$                                      

10) Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq a(b+c+d+e) \forall a;b;c;d;e$                              

11) Cho $ab\geq 1$. Cm: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$                            

12) Cho $x;y> 0$. Cm: $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$                            

13) Cho $x;y\in \left [ 0;1 \right ]$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$                        

14) Cho $a;b;c> 0$. Cm: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$                          


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-03-2014 - 12:48


#3 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 16-12-2013 - 06:13

 

1) Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)$4x^{2}+4y^{2}+6x+3\geq 4xy \forall x;y$

b)$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3} \forall a;b$

c)$x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+14> 2x+12y+6z$

d)$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\forall a;b;c$

e)$(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

g)$1+a\geq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^{2}}\forall a> 0$
h)$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}\forall a;b> 0$

 

Lời giải:

a)$(x-2y)^{2}+3(x+1)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi: $x=-1;y=\frac{-1}{2}$.

b)$a^{3}(a-b)-b^{3}(a-b)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a^{2}-ab+b^{2})\geq 0$ (luôn đúng)

c)$(x-1)^{2}+(2y-3)^{2}+3(z-1)^{2}+1>0$ (luôn đúng)
d)$\frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]\geq 0$ (luôn đúng)

e) Áp dụng câu d)
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}$ (cộng 2 vế với $a^{2}+b^{2}+c^{2}> 0$)

g) Đặt $\sqrt[3]{a}=x>0$

$PT\Leftrightarrow 1+x^{3}\geq x+x^{2}$

$\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x+1)\geq 0$ (luôn đúng do $x>0$)

h) $\Leftrightarrow \frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

$\Leftrightarrow a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 0$ (luôn đúng do $a;b>0$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 16-12-2013 - 16:37


#4 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 16-12-2013 - 12:33

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

 

$I)$ Bất đẳng thức Cô-si:
1) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:

 

 

1) Cho $a\geq 3$. Tìm Min $S=a+\frac{1}{a}$
Sai lầm thường gặp: $S=a+\frac{1}{a}\geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}}=2$
Dấu "=" xảy ra khi: $a=\frac{1}{a}\Rightarrow a=1$ (trái với giả thiết)
Cách làm đúng:
Ta chọn điểm rơi: Ta phải tách hạng tử $a$ hoặc $\frac{1}{a}$ để sao cho khi áp dụng BĐT Cô-si dấu "=" xảy ra khi $a=2$. Có các hình thức sau:

$(a,\frac{1}{a})\Rightarrow \begin{bmatrix}(\frac{1}{\alpha }a;\frac{1}{a}) (1) & & \\ (\alpha a;\frac{1}{a}) (2) & & \\ (a;\frac{1}{\alpha a}) (3) \\ (a;\frac{\alpha }{a}) (4) \end{bmatrix}$.

Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi $(1)$: (sơ đồ điểm rơi $(2);(3);(4)$ bạn đọc tự làm)
$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\alpha }a=\frac{3}{\alpha } & & \\ \frac{1}{a}=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{3}{\alpha }=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \alpha =9$.
Vậy ta có: $S=a+\frac{1}{a}=\frac{1}{9}a+\frac{1}{a}+\frac{8}{9a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{9}a.\frac{1}{a}}+\frac{8}{9}.3=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi: $\frac{1}{9}a=\frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow a=3(t/m)$

 

2) Cho $a\geq 2$. Tìm Min $S=a+\frac{1}{a^{2}}$.

Sơ đồ chọn điểm rơi:

$a=2$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{a}{\alpha }=\frac{2}{\alpha } & & \\ \frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{2}{\alpha }=\frac{1}{4}\Rightarrow \alpha =8$.

Sai lầm thường gặp:

$S=a+\frac{1}{a^{2}}=(\frac{a}{8}+\frac{1}{a^{2}})+\frac{7a}{8}\geq 2\sqrt{\frac{a}{8a^{2}}}+\frac{7a}{8}=\frac{2}{\sqrt{8.2}}+\frac{7.2}{8}=\frac{2}{4}+\frac{7}{4}=\frac{9}{4}$.

Nguyên nhân sai lầm:

Mặc dù chọn điểm rơi $a=2$ và $Min S=\frac{9}{4}$ là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu $a\geq 2$ thì $\frac{2}{\sqrt{8a}}\geq \frac{2}{\sqrt{8.2}}=\frac{2}{4}$ là đánh giá sai.

Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kí thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi $S$ sao cho sau khi sử dụng BĐT Cô si sẽ khử hết biến số $a$ ở mẫu số.

Lời giải đúng:

$S=a+\frac{1}{a^{2}}=(\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^{2}})+\frac{6a}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{64a^{2}}}+\frac{6.2}{8}=\frac{9}{4}$.

Dấu "=" xảy ra khi: $a=2$.

 

 

 

3) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b>0 & & \\ a+b\leq 1 & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=ab+\frac{1}{ab}$

4) Cho $a,b>0$. Tìm Min $S=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

5) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-03-2014 - 12:49


#5 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 16-12-2013 - 16:51

2) Chứng minh bất đẳng thức:

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

3) Chứng minh rằng: $\forall a;b> 0$ ta có:

$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

4) Cho $a;b\in (-1;1)$, chứng minh:

$|a+b|< |1+ab|$

5) Cho $a;b;c$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix}abc=1 & & \\ a> \sqrt[3]{36} & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh: $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

Lời giải:

2) $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ac+2bd$

$\Rightarrow 2\sqrt{a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}}\geq 2(ac+bd)$ (*)

  • Nếu $ac+bd<0$ thì (*) luôn đúng.
  • Nếu $ac+bd\geq 0$ thì:

 

(*) $\Leftrightarrow a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\geq a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+2abcd$

$\Leftrightarrow a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-2abcd\geq 0$

$\Leftrightarrow (ad-bc)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi: $ad=bc$

 

3)$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3}+b^{3}+a^{2}b+ab^{2}}{4}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+a^{2}b+ab^{2}\leq 2a^{3}+2b^{3}$

$\Leftrightarrow a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0$ (Luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi: $a=b$

 

4)

$|a+b|< |1+ab|$

$\Leftrightarrow |a+b|^{2}< |1+ab|^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-a^{2}b^{2}-1<0$

$\Leftrightarrow (a^{2}-1)(1-b^{2})<0$ (Luôn đúng do $a;b\in (-1;1)$)

 

5)$a>\sqrt[3]{36}\Leftrightarrow a^{3}-36>0\Leftrightarrow \frac{a^{3}-12.3abc}{12a}>0$ (Do $12a>0$)

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{12}-3bc>0$

Có: $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}>ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow (\frac{a}{2}-b-c)^{2}+(\frac{a^{2}}{12}-3bc)>0$ (Luôn đúng)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 16-12-2013 - 22:15


#6 laiducthang98

laiducthang98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 16-12-2013 - 22:16

5) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ta phân tích thành : $(a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})=(4a+\frac{1}{a})-3a+(4b+\frac{1}{b})-3b+(4c+\frac{1}{c})-3c \geq 2.2+2.2+2.2-3(a+b+c)=12-\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$



#7 daoducluong0908

daoducluong0908

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 16-12-2013 - 22:37


6) Cho $a+b\geq 2$. Cmr: $a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$                                

7) Cho $a> 1$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}$                                

8) Cm: $a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq 6abc \forall a;b;c$                              

9) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 & & \\ \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1 & & \end{matrix}\right.$                       Cmr: $3(ab+bc+ca)\geq abc$                                      

10) Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq a(b+c+d+e) \forall a;b;c;d;e$                              

11) Cho $ab\geq 1$. Cm: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$                            

12) Cho $x;y> 0$. Cm: $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$                            

13) Cho $x;y\in \left [ 0;1 \right ]$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$                        

14) Cho $a;b;c> 0$. Cm: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$                          

6)Xét hiệu: $(a^{4}+b^{4}).2-(a^{3}+b^{3})(a+b)
Biến đổi tương đương
=> $(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0\forall a;b$

$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$

Mà $GT\Rightarrow (a+b)(a^{4}+b^{4})\geq 2(a^{4}+b^{4})$

$\Rightarrow (a^{4}+b^{4})(a+b)\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$

=>đpcm.

7)$PT\Leftrightarrow 1<\sqrt{a^{2}+a}-\sqrt{a^{2}-a}$

$\Leftrightarrow 1+\sqrt{a^{2}-a}<\sqrt{a^{2}+a}$

$\Leftrightarrow a^{2}-a+1+2\sqrt{a^{2}-a}<a^{2}+a$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^{2}-a}<2a-1\Leftrightarrow 4a^{2}-4a<4a^{2}-4a+1\Leftrightarrow 0<1$ (luôn đúng)
8)
$PT\Leftrightarrow (a-bc)^{2}+(b-ca)^{2}+(c-ab)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

10) Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức với 4 thu gọn được:

$(a-2b)^{2}+(a-2d)^{2}+(a-2c)^{2}+(a-2e)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-04-2014 - 17:57


#8 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 16-12-2013 - 22:49



9) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 & & \\ \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1 & & \end{matrix}\right.$                       Cmr: $3(ab+bc+ca)\geq abc$                                      

11) Cho $ab\geq 1$. Cm: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$                            

12) Cho $x;y> 0$. Cm: $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$                            

13) Cho $x;y\in \left [ 0;1 \right ]$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$                        

14) Cho $a;b;c> 0$. Cm: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$                          

                          

Lời giải:

9)$\sum \frac{1}{\sqrt{a}}=1\Leftrightarrow \sum \sqrt{ab}=\sqrt{abc}\Leftrightarrow \sum ab+\sum 2\sqrt{ab^{2}c}=abc\Leftrightarrow abc=\sum ab+2\sum \sqrt{ab.bc}\leq \sum ab+\sum (ab+bc)=3\sum ab$

11)Chuyển vế biến đổi tương đương. http://truongviethoa...dfrac21-ab.html

12)$PT\Leftrightarrow (1+xy)[(1+x)^{2}+(1+y)^{2}]\geq [(1+x)(1+y)]^{2}$

$\Leftrightarrow (1+xy)[2(1+x+y)+x^{2}+y^{2}]\geq [(1+x+y)+xy]^{2}\Leftrightarrow 2(1+x+y)+x^{2}+y^{2}+2xy(1+x+y)+xy(x^{2}+y^{2})\geq (1+x+y)^{2}+2xy(1+x+y)+x^{2}y^{2}$

$\Leftrightarrow 1+xy(x^{2}+y^{2})-2xy-x^{2}y^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow (xy-1)^{2}+xy(x-y)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

13) Áp dụng BCS:

$(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}})^{2}\leq 2(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}})$

Áp dụng câu 11:

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+xy}$

$\Rightarrow VT^{2}\leq 2.\frac{2}{1+xy}=\frac{4}{1+xy}$

=> đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 10-09-2014 - 18:52


#9 firetiger05

firetiger05

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Văn Trỗi - Thanh Hóa
  • Sở thích:Đánh Games:(LOL là chính).Đọc One Piece(Trở thành vua hải tặc)
    Toán Học:any peer expressions,extreme,test material.

Đã gửi 17-12-2013 - 11:10

3) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b>0 & & \\ a+b\leq 1 & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=ab+\frac{1}{ab}$

S=16ab+$\frac{1}{ab}$$-$15ab$\geq 2\sqrt{16ab.\frac{1}{ab}}$$-$15$\frac{1}{4}$=4.25
Dấu = xảy ra <=> x=y=1/2

4) Cho $a,b>0$. Tìm Min $S=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

$\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}\geq 1$
$\frac{3}{4}$.$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$$\geq \frac{3}{4}.\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$=$\frac{3}{2}$
Cộng vế:=> S$\geq \frac{5}{2}$.Dấu = khi a=b=1
P/s:không biết gộp 2 bài lại.
@Viet Hoang 99: Đã gộp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-03-2014 - 12:53

:ukliam2: Học! :ukliam2: Học nữa! :ukliam2: Học mãi :off: :off:
:icon12: :ukliam2: Yêu Toán **==Nồng Cháy :ukliam2: :icon12:
:oto:  :oto: Quyết đậu chuyên Tin   Lam :icon12: Sơn    :oto:  :oto:


#10 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 28-12-2013 - 10:36

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

2) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:
$\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}\leq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}$

Ví dụ: Cmr: Với mọi $a;b$ thì: $16ab(a-b)^{2}\leq (a+b)^{4}$

Giải: $16ab(a-b)^{2}=4.4ab(a-b)^{2}\leq 4.\left[\frac{4ab+(a-b)^{2}}{2}\right]^{2}=(a+b)^{4}$
Bài tập:

1) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=1$. Tìm $Max S=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}$

2) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=3$. Tìm  $Max S=\sqrt[5]{2a+b}+\sqrt[5]{2b+c}+\sqrt[5]{2c+a}$

3) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=3$. Tìm $Max S=\sqrt[5]{a(a+c)(2a+b)}+\sqrt[5]{b(b+a)(2b+c)}+\sqrt[5]{c(c+b)(2c+a)}$

4) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=1$. Tìm $Max S=\sqrt[3]{a(b+2c)}+\sqrt[3]{b(c+2a)}+\sqrt[3]{c(a+2b)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 10-09-2014 - 18:54


#11 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 06-01-2014 - 01:50

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

 

$I)$ Bất đẳng thức Cô-si:
1) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:

 

 

1) Cho $a\geq 3$. Tìm Min $S=a+\frac{1}{a}$
Sai lầm thường gặp: $S=a+\frac{1}{a}\geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}}=2$
Dấu "=" xảy ra khi: $a=\frac{1}{a}\Rightarrow a=1$ (trái với giả thiết)
Cách làm đúng:
Ta chọn điểm rơi: Ta phải tách hạng tử $a$ hoặc $\frac{1}{a}$ để sao cho khi áp dụng BĐT Cô-si dấu "=" xảy ra khi $a=2$. Có các hình thức sau:

$(a,\frac{1}{a})\Rightarrow \begin{bmatrix}(\frac{1}{\alpha }a;\frac{1}{a}) (1) & & \\ (\alpha a;\frac{1}{a}) (2) & & \\ (a;\frac{1}{\alpha a}) (3) \\ (a;\frac{\alpha }{a}) (4) \end{bmatrix}$.

Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi $(1)$: (sơ đồ điểm rơi $(2);(3);(4)$ bạn đọc tự làm)
$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\alpha }a=\frac{3}{\alpha } & & \\ \frac{1}{a}=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{3}{\alpha }=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \alpha =9$.
Vậy ta có: $S=a+\frac{1}{a}=\frac{1}{9}a+\frac{1}{a}+\frac{8}{9a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{9}a.\frac{1}{a}}+\frac{8}{9}.3=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi: $\frac{1}{9}a=\frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow a=3(t/m)$

 

2) Cho $a\geq 2$. Tìm Min $S=a+\frac{1}{a^{2}}$.

Sơ đồ chọn điểm rơi:

$a=2$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{a}{\alpha }=\frac{2}{\alpha } & & \\ \frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{2}{\alpha }=\frac{1}{4}\Rightarrow \alpha =8$.

Sai lầm thường gặp:

$S=a+\frac{1}{a^{2}}=(\frac{a}{8}+\frac{1}{a^{2}})+\frac{7a}{8}\geq 2\sqrt{\frac{a}{8a^{2}}}+\frac{7a}{8}=\frac{2}{\sqrt{8.2}}+\frac{7.2}{8}=\frac{2}{4}+\frac{7}{4}=\frac{9}{4}$.

Nguyên nhân sai lầm:

Mặc dù chọn điểm rơi $a=2$ và $Min S=\frac{9}{4}$ là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu $a\geq 2$ thì $\frac{2}{\sqrt{8a}}\geq \frac{2}{\sqrt{8.2}}=\frac{2}{4}$ là đánh giá sai.

Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kí thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi $S$ sao cho sau khi sử dụng BĐT Cô si sẽ khử hết biến số $a$ ở mẫu số.

Lời giải đúng:

$S=a+\frac{1}{a^{2}}=(\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^{2}})+\frac{6a}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{64a^{2}}}+\frac{6.2}{8}=\frac{9}{4}$.

Dấu "=" xảy ra khi: $a=2$.

 

 

 

3) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b>0 & & \\ a+b\leq 1 & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=ab+\frac{1}{ab}$

4) Cho $a,b>0$. Tìm Min $S=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

5) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Làm sao để lập sơ đồ điểm rơi thế bạn


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#12 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 06-01-2014 - 17:58

Làm sao để lập sơ đồ điểm rơi thế bạn

Có 4 cách, mình đã làm chi tiết mà!



#13 Phuong Mark

Phuong Mark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:${\text{Vitamin Vitamin}}$
  • Sở thích:Tự kỉ một mình trong rừng xanh

Đã gửi 06-01-2014 - 19:12

$\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}\geq 1$

          $\frac{3}{4}$.$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$$\geq \frac{3}{4}.\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$=$\frac{3}{2}$

Cộng vế:=> S$\geq \frac{5}{2}$.Dấu = khi a=b=1

P/s:không biết gộp 2 bài lại.

còn cách nữa nè bạn :

Với $a,b> 0=>\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq 2+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq 2+\frac{1}{2}= \frac{5}{2}$

Vậy : minS=$\frac{5}{2}$


Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !

 

 

 


#14 Phuong Mark

Phuong Mark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:${\text{Vitamin Vitamin}}$
  • Sở thích:Tự kỉ một mình trong rừng xanh

Đã gửi 07-01-2014 - 12:10

6)Xét hiệu: $(a^{4}+b^{4}).2-(a^{3}+b^{3})(a+b)
Biến đổi tương đương
=> $(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0\forall a;b$

$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$

Mà $GT\Rightarrow (a+b)(a^{4}+b^{4})\geq 2(a^{4}+b^{4})$

$\Rightarrow (a^{4}+b^{4})(a+b)\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$

=>đpcm.

7)$PT\Leftrightarrow 1<\sqrt{a^{2}+a}-\sqrt{a^{2}-a}$

$\Leftrightarrow a+\sqrt{a^{2}-a}<\sqrt{a^{2}+a}$

$\Leftrightarrow a^{2}-a+1+2\sqrt{a^{2}-a}<a^{2}+a$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^{2}-a}<2a-1\Leftrightarrow 4a^{2}-4a<4a^{2}-4a+1\Leftrightarrow 0<1$ (luôn đúng)
8)
$PT\Leftrightarrow (a-bc)^{2}+(b-ca)^{2}+(c-ab)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

10) Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức với 4 thu gọn được:

$(a-2b)^{2}+(a-2d)^{2}+(a-2c)^{2}+(a-2e)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

bài 6: còn cách nữa nè bạn:

ta có: $a^{3}+b^{3}\leq \left ( a+b \right )^{3}\leq \left ( a^{3}+b^{3} \right )\left ( a+b \right )=2\left ( a^{3}+b^{3} \right )\leq \left ( a^{4}+b^{4} \right )\left ( a+b \right )=2\left ( a^{4} +b^{4}\right )$

$=>a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$ (đpcm)


Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !

 

 

 


#15 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 04-02-2014 - 15:10

Còn bài nào về kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức cô-sy nữa không bạn? Nếu có mong ban hãy đăng lên cho mọi người cùng làm!!

P/s: Đang "máu" BĐT Cô-si!!:))


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#16 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 04-02-2014 - 17:05

Ở BOX này sao đăng lớp $9$ thế bạn ?? Nhờ ĐHV Tổng hợp chuyển sang BOX THCS đi, cho mọi người thảo luận !!

Đã chuyển BOX THCS, vào làm đi!

 

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

2) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:
$\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}\leq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}$

Ví dụ: Cmr: Với mọi $a;b$ thì: $16ab(a-b)^{2}\leq (a+b)^{4}$

Giải: $16ab(a-b)^{2}=4.4ab(a-b)^{2}\leq 4.[\frac{4ab+(a-b)^{2}}{2}]^{2}=(a+b)^{4}$
Bài tập:

1) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=1$. Tìm $Max S=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}$

2) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=3$. Tìm  $Max S=\sqrt[5]{2a+b}+\sqrt[5]{2b+c}+\sqrt[5]{2c+a}$

3) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=3$. Tìm $Max S=\sqrt[5]{a(a+c)(2a+b)}+\sqrt[5]{b(b+a)(2b+c)}+\sqrt[5]{c(c+b)(2c+a)}$

4) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=1$. Tìm $Max S=\sqrt[3]{a(b+2c)}+\sqrt[3]{b(c+2a)}+\sqrt[3]{c(a+2b)}$

 

 

1)$\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\sqrt[3]{(a+b).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{a+b+\frac{4}{3}}{3}$

Cmtt ...

Vậy $S=\sum \sqrt[3]{a+b}\leq \sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{2(a+b+c)+4}{3}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.2=\sqrt[3]{18}$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$
 

Còn bài nào về kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức cô-sy nữa không bạn? Nếu có mong ban hãy đăng lên cho mọi người cùng làm!!

P/s: Đang "máu" BĐT Cô-si!! :))

Đó còn 3 bài làm tương tự đi!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-05-2014 - 14:52


#17 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 04-02-2014 - 17:13

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

2) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:

Bài tập:

<tiếp theo>
5) Cho $a\geq 2;b\geq 6;c\geq 12$. Tìm $Max S=\frac{bc\sqrt{a-2}+ca\sqrt[3]{b-6}+ab\sqrt[4]{c-12}}{abc}$

6) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=\frac{3}{4} & & \end{matrix}\right.$. Tìm $Max A=\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}$

7) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Tìm $Max A=a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}$

8) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 & & \end{matrix}\right.$. Tìm $Max S=a\sqrt[3]{b^{2}+c^{2}}+b\sqrt[3]{c^{2}+a^{2}}+c\sqrt[3]{a^{2}+b^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 14:07


#18 hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 05-02-2014 - 14:40

 

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

2) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:

Bài tập:

<tiếp theo>
5) Cho $a\geq 2;b\geq 6;c\geq 12$. Tìm $Max S=\frac{bc\sqrt{a-2}+ca\sqrt[3]{b-6}+ab\sqrt[4]{c-12}}{abc}$

 

Ta có :

$S=\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt[3]{b-6}}{b}+\frac{\sqrt[4]{c-12}}{c}$

Áp dụng BDT AM-GM ta có:

$\frac{\sqrt{a-2}}{a}\leq \frac{a-2+2}{2\sqrt{2}a}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt[3]{b-6}}{b}\leq \frac{b-6+3+3}{3\sqrt[3]{9}b}=\frac{1}{3\sqrt[3]{9}}$

$\frac{\sqrt[4]{c-12}}{2}\leq \frac{c-12+4+4+4}{8\sqrt{2}c}= \frac{1}{8\sqrt{2}}$

Do đó:

$S\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{9}}+\frac{1}{8\sqrt{2}}$

Dấu "=" xảy ra <=> $a=4, b= 9, c=16$

 

p/s: Các bạn thảo luận có thể sử dụng tin nhắn nhé! Để tránh spam, mình thấy topic không nhiều bài làm lắm,chỉ là thảo luận của các mem thôi.

      Chúc topic ngày càng phát triển nhé! :biggrin:


:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#19 laiducthang98

laiducthang98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 06-02-2014 - 12:08

 

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

6) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=\frac{3}{4} & & \end{matrix}\right.$. Tìm $Max A=\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}$

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ta có : $\sqrt[3]{(a+3b).1.1}\leq \frac{a+3b+1+1}{3}$ 

Tương tự                                         $\sqrt[3]{(b+3c).1.1}\leq \frac{b+3c+1+1}{3}$

                                                        $\sqrt[3]{(c+3a).1.1}\leq \frac{c+3a+1+1}{3}$

Cộng 3 BĐT trên ta có : $\sum \sqrt[3]{a+3b}\leq \frac{a+3b+b+3c+c+3a+2+2+2}{3}=\frac{4(a+b+c)+6}{3}=3$ 



#20 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 06-02-2014 - 14:49

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

2) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:
$\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}\leq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}$

Ví dụ: Cmr: Với mọi $a;b$ thì: $16ab(a-b)^{2}\leq (a+b)^{4}$

Giải: $16ab(a-b)^{2}=4.4ab(a-b)^{2}\leq 4.[\frac{4ab+(a-b)^{2}}{2}]^{2}=(a+b)^{4}$
Bài tập:

1) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=1$. Tìm $Max S=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}$

2) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=3$. Tìm  $Max S=\sqrt[5]{2a+b}+\sqrt[5]{2b+c}+\sqrt[5]{2c+a}$

3) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=3$. Tìm $Max S=\sqrt[5]{a(a+c)(2a+b)}+\sqrt[5]{b(b+a)(2b+c)}+\sqrt[5]{c(c+b)(2c+a)}$

4) Cho $a;b;c>0$ tm: $a+b+c=1$. Tìm $Max S=\sqrt[3]{a(b+2c)}+\sqrt[3]{b(c+2a)}+\sqrt[3]{c(a+2b)}$

 

 

Đã chuyển BOX THCS, vào làm đi!

 

1)$\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\sqrt[3]{(a+b).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{a+b+\frac{4}{3}}{3}$

Cmtt ...

Vậy $S=\sum \sqrt[3]{a+b}\leq \sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{2(a+b+c)+4}{3}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.2=\sqrt[3]{18}$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$
 

Đó còn 3 bài làm tương tự đi!!!

 

 

Còn bài nào về kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức cô-sy nữa không bạn? Nếu có mong ban hãy đăng lên cho mọi người cùng làm!!

P/s: Đang "máu" BĐT Cô-si!! :))

nguyenhongsonk612 bảo thế mà chả thấy làm cái gì, mình để cho 3 bài mà bạn không làm à.

Thôi mình làm nốt 3 bài kia.
2)

$\sum \sqrt[5]{2a+b}=\sum \sqrt[5]{\frac{1}{81}}.\sqrt[5]{(2a+b).3.3.3.3}\leq \sum \sqrt[5]{\frac{1}{81}}.\frac{2a+b+12}{5}=\sqrt[5]{\frac{1}{81}}.\frac{3(a+b+c)+36}{5}=\sqrt[5]{\frac{1}{81}}+9=3\sqrt[5]{3}$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=1$

3)
$\sum \sqrt[5]{a(a+c)(2a+b)}=\sum \sqrt[5]{6a.3(a+c).2(2a+b).6.6}.\sqrt[5]{\frac{1}{64}}\leq \sum \sqrt[5]{\frac{1}{64}}.\frac{6a+3a+3c+4a+2b+12}{5}=\sum \sqrt[5]{\frac{1}{64}}.\frac{13a+2b+3c+12}{5}=\sqrt[5]{\frac{1}{64}}.\frac{18(a+b+c)+36}{5}=\sqrt[5]{\frac{1}{64}}.18=3\sqrt[5]{6}$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=1$

4)
$\sum \sqrt[3]{a(b+2c)}=\sum \sqrt[3]{3a(b+2c).3}.\sqrt[3]{\frac{1}{9}}\leq \sum \frac{3a+b+2c+3}{3}.\sqrt[3]{\frac{1}{9}}=\frac{6(a+b+c)+9}{3}.\sqrt[3]{\frac{1}{9}}=3\sqrt[3]{3}$

P/s: Bài 3 và bài 4 có thể hơi khó một chút nếu ai tìm ra điểm rơi $a=b=c=1$ rồi mà chưa biết làm sao để có thể Cauchy xảy ra dấu  bằng. Ở bài 3 ta thấy điểm rơi $a=b=c=1$. Nhưng a+c=2; 2a+b=3, nên ta nhân lên là 6a=6; 3(a+c)=6; 2(2a+b)=6; Và cô si 5 số nên ta nhân thêm 2 số 6 nữa. Bài 4 tương tự.

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-05-2014 - 19:46





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh