Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 738 trả lời

#21 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 06-02-2014 - 15:22

Đã chuyển về BOX THCS thì chém cũng nhẹ thôi..

Nếu đã sử dụng $\sum$ thì cũng giải thích vài nét chứ !

------------------------------------------------------

P/s: 

Spoiler

 


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#22 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 06-02-2014 - 15:37

 

7) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Tìm $Max A=a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}$

8) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 & & \end{matrix}\right.$. Tìm $Max S=a\sqrt[3]{b^{2}+c^{2}}+b\sqrt[3]{c^{2}+a^{2}}+c\sqrt[3]{a^{2}+b^{2}}$

 

7) 

$A=\sum a\sqrt[3]{1+b-c}\Leftrightarrow A=\sum a\sqrt[3]{a+2b}=\sum a\sqrt[3]{(a+2b).1.1}\leq \sum a.\frac{a+2b+2}{3}=\frac{(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)}{3}=1$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$

8)

$S=\sum a\sqrt[3]{b^{2}+c^{2}}=\sum \sqrt[3]{a^{3}(b^{2}+c^{2})}=\sum \sqrt[6]{(a^{2})^{3}.(b^{2}+c^{2})^{2}}=\sum \sqrt[6]{(2a^{2})^{3}.(b^{2}+c^{2})^{2}.8}.\sqrt[6]{\frac{1}{64}}\leq \sum \frac{2a^{2}.3+(b^{2}+c^{2}.2+8)}{6}.\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=\sum \frac{6a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+8}{6}.\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=\frac{10(a^{2}+b^{2}+c^{2})+24}{6}=\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=12$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=2$

 

 

Đã chuyển về BOX THCS thì chém cũng nhẹ thôi..

Nếu đã sử dụng $\sum$ thì cũng giải thích vài nét chứ !

------------------------------------------------------

P/s: 

Spoiler

Cái $\sum$: sigma (xích ma) các bạn tự tra google nha.
Có 2 loại $\sum$ nhưng mình dùng chủ yếu loại $\sum_{cyc}$ (mọi người trên diễn đàn viết tắt luốn $\sum$) tức là hoán vị.
Đọc qua topic chắc các bạn đã hiểu về $\sum$.
Ví dụ :D :
Đề bài cho các số a;b;c thì $\sum a=\sum b=\sum c=a+b+c$
(nhưng người ta dùng $\sum a$ chứ chẳng ai dùng $\sum b$; $\sum c$) :D

Đề bài cho các số a;b;c;d thì $\sum a=\sum b=\sum c=\sum d=a+b+c+d$

$\sum \frac{1}{a}=...=\sum \frac{1}{d}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$

$\sum ab=...=\sum da=ab+bc+ca+da$.
Nó chỉ là hoán vị kiểu vậy thôi.
 



#23 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 06-02-2014 - 16:08

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

2) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:

Bài tập:

<tiếp theo>

 

 

9) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\geq 0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$ ( Viết tắt : $\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$)

10) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{3}{2}$ (Viết tắt : $\sum \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}\leq \frac{3}{2}$)

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:
1) Cmr: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq a+b+c\forall a;b;c>0$ (Viết tắt : $\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sum a\forall a;b;c>0$)

Giải:

$\frac{a^{2}}{b}+b\geq 2a$

cmtt:...

$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq 2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c$

2) Cmr: 
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum a\forall a;b;c>0$

3) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}\forall a;b;c>0$

4) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{bc}\geq \sum a\forall a;b;c>0$

5) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum ab\forall a;b;c>0$

6) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum a^{2}\forall a;b;c>0$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 14:08


#24 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-02-2014 - 11:07

 

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

 

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:
1) Cmr: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq a+b+c\forall a;b;c>0$ (Viết tắt : $\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sum a\forall a;b;c>0$)

Giải:

$\frac{a^{2}}{b}+b\geq 2a$

cmtt:...

$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq 2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c$

2) Cmr: 
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum a\forall a;b;c>0$

3) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}\forall a;b;c>0$

4) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{bc}\geq \sum a\forall a;b;c>0$

5) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum ab\forall a;b;c>0$

6) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum a^{2}\forall a;b;c>0$

 

 

2) 

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+b+b\geq 3a$ (Cauchy)
cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}}+2(a+b+c)\geq 3a\Leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum a$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c$

 

3) 

Cách 1:

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+a\geq 2.\frac{a^{2}}{b}$ (Cauchy)
cmtt....

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}+a+b+c\geq 2.\sum \frac{a^{2}}{b}$

Mà $\sum a \leq \sum \frac{a^{2}}{b}$ (Đã CM ở bài 1)

Trừ 2 vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều trên ta có:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}$

 

Cách 2:

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau bằng cách biến đổi tương đương: 

$x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\forall x;y>0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^{2}\geq 0$ đúng với mọi $x;y>0$

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+b=\frac{a^{3}+b^{3}}{b^{2}}\geq \frac{ab(a+b)}{b^{2}}=\frac{a^{2}}{b}+a$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}$

 

4)

$\frac{a^{3}}{bc}+b+c\geq 3a$ (Cauchy)
cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{bc}\geq \sum a$

 

5)

$\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2}$ (Cauchy)

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}+\sum ab\geq 2\sum a^{2}$

Mà $\sum a^{2}\geq \sum ab$ (BĐT này chứng minh bằng cách nhân 2 rồi biến đổi tương đương)
$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}+\sum ab\geq 2\sum ab\Leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum ab$

 

6)

$\frac{a^{5}}{b^{3}}+ab+b^{2}\geq 3a^{2}$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^{5}}{b^{3}}+\sum ab\geq 2a^{2}$

Mà $\sum ab\leq \sum a^{2}$

Trừ 2 BĐT ngược chiều ta có:
$\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum a^{2}$

 

 



#25 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-02-2014 - 11:10

7) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{4}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$

8) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$
9) Cmr: $\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq \sum \frac{1}{a^{3}}\forall a;b;c>0$

10) Cmr: $\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}\forall a;b;c>0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 14:09


#26 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 07-02-2014 - 21:06

7) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{4}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$

 

 

Chỉ dùng Cauchy:

 

$2\frac{a^5}{b^3}+a^2=\frac{a^5}{b^3}+\frac{a^5}{b^3}+a^2 \geq 3\frac{a^4}{b^2} \Rightarrow 2\sum \frac{a^5}{b^3}+\sum a^2 \geq 3\sum \frac{a^4}{b^2}$

 

Mà $\frac{a^4}{b^2}+b^2 \geq 2a^2$ $\Rightarrow \sum \frac{a^4}{b^2} \geq \sum a^2$

 

Từ hai BĐT trên $\Rightarrow \sum \frac{a^5}{b^3} \geq \sum \frac{a^4}{b^2}.$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 22:11


#27 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 07-02-2014 - 21:39

8) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$

 

 

$a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2 \Rightarrow \frac{a^3}{b^3}+1 \geq \frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}$
 
$ \Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^3} + 3 \geq \sum \frac{a^2}{b^2}+ \sum \frac{a}{b}$
 
Mà $ \sum \frac{a}{b} \geq 3$ nên ta có $ \sum \frac{a^3}{b^3} \geq \sum \frac{a^2}{b^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 21:43


#28 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-02-2014 - 21:56

Chỉ dùng Cauchy:

 

$\frac{a^5}{b^3}+\frac{a^5}{b^3}+a^2 \geq 3\frac{a^4}{b^2}$ $\Rightarrow 2\sum \frac{a^5}{b^3}+\sum a^2 \geq 3\sum \frac{a^4}{b^2}$

 

Mà $\frac{a^4}{b^2}+b^2 \geq 2a^2$ $\Rightarrow \sum \frac{a^4}{b^2} \geq \sum a^2$

 

Từ hai BĐT trên $\Rightarrow \sum \frac{a^5}{b^3} \geq \sum \frac{a^4}{b^2}.$

 

 

Làm rõ hơn chút, chỗ đó là cauchy 3 số.

 

 

 

$a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2 \Rightarrow \frac{a^3}{b^3}+1 \geq \frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}$
 
$ \Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^3} + 3 \geq \sum \frac{a^2}{b^2}+ \sum \frac{a}{b}$
 
Mà $ \sum \frac{a}{b} \geq 3$ nên ta có $ \sum \frac{a^3}{b^3} \geq \sum \frac{a^2}{b^2}$

 

Bước cuối tắt.



#29 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 07-02-2014 - 22:07

Làm rõ hơn chút, chỗ đó là cauchy 3 số.

 

 

 

Đã chỉnh.

 


 

Bước cuối tắt.

 

 

Cauchy cho 3 số $\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}$ thì mình nghĩ không cần viết dài thêm???

 

 

 

 

 



#30 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 07-02-2014 - 22:15

10) Cmr: $\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}\forall a;b;c>0$

 

$a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2=ab(a+b)$

 

$\Rightarrow a^3+b^3+abc \geq ab(a+b+c) \Rightarrow \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \frac{1}{ab(a+b+c)}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)} = \frac{1}{abc}$ (đưa $\frac{1}{a+b+c}$ ra ngoài rồi quy đồng mẫu các phân thức bên trong lên)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 22:29


#31 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-02-2014 - 22:24

 

9) Cmr: $\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq \sum \frac{1}{a^{3}}\forall a;b;c>0$

 

9)
Áp dụng Cauchy 5 số:
$\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{a^{3}}\geq 5.\frac{1}{b^{3}}$

cmtt...

$\Rightarrow 3\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}+2\sum \frac{1}{a^{3}}\geq \sum 5.\frac{1}{a^{3}}\Leftrightarrow 3\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq 3\sum \frac{1}{a^{3}}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq \sum \frac{1}{a^{3}}$



#32 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-02-2014 - 22:28

11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

12) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b(2c+a)}\geq 1$

 

13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$

 

14) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}$

 

15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$

 

16) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 14:06


#33 hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:darkness
  • Sở thích:???

Đã gửi 07-02-2014 - 22:35

 

14) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}$

 

$\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}= \sum \frac{a }{ \sqrt{ a^{2}+ab+bc+ac}}= \sum \frac{ a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}$

áp dụng bđt cô si ta có

$\sum \frac{ a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}\leq\sum \frac{1}{2}(\frac{ a}{ a+b}+\frac{ a}{ a+c})= \frac{3}{2}$

vậy ta được đpcm



#34 hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 07-02-2014 - 22:43

13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$

$\sum \frac{a^3}{(b+2c)}=\sum \frac{a^4}{ab+2ac}\geq \sum \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 07-02-2014 - 22:44

:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#35 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-02-2014 - 22:50

13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$

 

 

$\sum \frac{a^3}{(b+2c)}=\sum \frac{a^4}{ab+2ac}\geq \sum \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Cách 2:

$\frac{a^3}{b+2c}+\frac{a(b+2c)}{9}\geq 2\sqrt{\frac{a^4}{9}}=\frac{2}{3}.a^2$

cmtt...

$\sum \frac{a^3}{b(2c+a)}+\frac{ab+bc+ca}{3}\geq \frac{2}{3}\sum a^2$

Mà $\frac{1}{3}\sum ab\leq \frac{1}{3}\sum a^2$

Trừ theo vế 2 bất đẳng thức ngược chiều ta được:
$\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}\sum a^2=\frac{1}{3}$



#36 hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 07-02-2014 - 22:51

15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$

TT bài 13:

$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$

Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 07-02-2014 - 22:57

:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#37 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 07-02-2014 - 22:56

 

12) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b(2c+a)}\geq 1$

 

 

$\frac{9a^3}{b(2c+a)}+3b+(2c+a) \geq 9a \Rightarrow \sum \frac{9a^3}{b(2c+a)}+\sum 3a+\sum 2c+a \geq \sum 9a.$

 

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b(2c+a)} \geq \frac{a+b+c}{3}=1.$

 

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 22:57


#38 hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 07-02-2014 - 23:03

TT bài 13:

$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$

Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Mi=ọi người xem bài này có chỗ không hợp lí mà không ai phản biện à?


:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#39 Phuong Mark

Phuong Mark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:${\text{Vitamin Vitamin}}$
  • Sở thích:Tự kỉ một mình trong rừng xanh

Đã gửi 07-02-2014 - 23:03

11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

12) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b(2c+a)}\geq 1$

 

13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$

 

14) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}$

 

15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$

 

16) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4}$

bài 13:

$\sum \frac{a^{4}}{a(b+2c)}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)^{2}}\geq \frac{1}{3}$

Áp dụng BĐT:$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}\left ( a+b+c \right )^{2}$ và BĐT bunhiacopxki


Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !

 

 

 


#40 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-02-2014 - 23:04

 


11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

 

11) Áp dụng Cauchy 3 số:
$\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq 3.\frac{a}{4}$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq 3.\frac{a+b+c}{4}\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{3}{4}$

_________________________________



 

15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$

 

 

TT bài 13:

$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$

Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài này bị ngược dấu!!!

Mình xin làm bài 15.

$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{ab+bc+ca}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b}+\sum \frac{a}{a+c}\geq \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{b}+1)+\sum \frac{a}{a+c}\geq \frac{15}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{c+a}{4a}+\sum \frac{a}{a+c}+\frac{3}{4}\sum \frac{a+b}{b}\geq \frac{15}{2}$(*)

Áp dụng Cauchy: $\Leftrightarrow \frac{c+a}{4a}+\frac{a}{a+c}\geq 1\Rightarrow \sum \frac{c+a}{4a}+\sum \frac{a}{a+c}\geq 3\Rightarrow \sum \frac{c+a}{4a}+\sum \frac{a}{a+c}+\frac{3}{4}\sum \frac{a+b}{b}\geq 3+\frac{3}{4}\sum \frac{a+b}{b}=3+\frac{3}{4}(3+\sum \frac{a}{b})\geq 3+\frac{3}{4}(3+3)=3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

Vậy (*) được CM.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-02-2014 - 23:57





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh