Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 738 trả lời

#41 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 07-02-2014 - 23:23

16) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4}$

 


 

$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{9}{4}a \geq 3\frac{a}{b+c} \Rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2}+\sum \frac{9}{4}a \geq \sum 3\frac{a}{b+c} \geq 3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$ 

 

(áp dụng BĐT Nesbit)

 

$ \Rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2} \geq \frac{9}{2}-\sum \frac{9}{4}a=\frac{9}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 23:24


#42 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 07-02-2014 - 23:25

Mọi người chú ý không làm tắt nha, ngắn gọn dễ hiểu, nó cũng là nội quy của diễn đàn  :D

 

 

17) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{1}{2}$

 

18) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

19) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

20) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{ab}{c}\geq 3$

 

21) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq 1$

 

22) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=8 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq 1$

 

 


 

$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{9}{4}a \geq 3\frac{a}{b+c} \Rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2}+\sum \frac{9}{4}a \geq \sum 3\frac{a}{b+c} \geq 3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$ 

 

(áp dụng BĐT Nesbit)

 

$ \Rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2} \geq \frac{9}{2}-\sum \frac{9}{4}a=\frac{9}{4}$

 

BĐT Nesbit:
$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a+b+c}{b+c}\geq \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(\sum \frac{1}{a+b})\geq \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow [(a+b)+(b+c)+(c+a)]\sum \frac{1}{a+b}\geq 9$ (Luôn đúng, cách chứng minh BĐT cuối này là cô si 3 số từng dấu ngoặc)

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-03-2014 - 13:00


#43 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 07-02-2014 - 23:55


17) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{1}{2}$

 

 

Tương tự bài 14 trên:

 

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{1-b-c+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{(b-1)(c-1)}} \leq \frac{1}{2}.(\frac{bc}{b-1}+\frac{bc}{c-1})$

 

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}} \leq \sum \frac{1}{2}.(\frac{bc}{b-1}+\frac{bc}{c-1})=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 23:57


#44 davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
  • Sở thích:Hình học, bất đẳng thức

Đã gửi 07-02-2014 - 23:59

2) Chứng minh bất đẳng thức:

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

3) Chứng minh rằng: $\forall a;b> 0$ ta có:

$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

4) Cho $a;b\in (-1;1)$, chứng minh:

$|a+b|< |1+ab|$

5) Cho $a;b;c$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix}abc=1 & & \\ a> \sqrt[3]{36} & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh: $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

6) Cho $a+b\geq 2$. Cmr: $a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$                                

7) Cho $a> 1$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}$                                

8) Cm: $a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq 6abc \forall a;b;c$                              

9) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 & & \\ \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1 & & \end{matrix}\right.$                       Cmr: $3(ab+bc+ca)\geq abc$                                      

10) Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq a(b+c+d+e) \forall a;b;c;d;e$                              

11) Cho $ab\geq 1$. Cm: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$                            

12) Cho $x;y> 0$. Cm: $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$                            

13) Cho $x;y\in \left [ 0;1 \right ]$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$                        

14) Cho $a;b;c> 0$. Cm: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$                          

Bài 14:

Từ đề bài tương đương: $\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{2(ab+bc+ca)}-\frac{c(a-b)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$(1)

Ta có:

          $S_{a}=b+c-a-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

          $S_{b}=c+a-b-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

          $S_{c}=a+b-c-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $S_{b}\geq 0$; $S_{a}+S_{b}\geq 0$; $S_{c}+S_{b}\geq 0$

Theo tiêu chuẩn nguyên lý S.O.S thì (1) đúng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davidsilva98: 08-02-2014 - 00:10


#45 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 08-02-2014 - 06:53

                

14) Cho $a;b;c> 0$. Cm: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$                          

 

Bài 14:

Từ đề bài tương đương: $\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{2(ab+bc+ca)}-\frac{c(a-b)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$(1)

Ta có:

          $S_{a}=b+c-a-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

          $S_{b}=c+a-b-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

          $S_{c}=a+b-c-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $S_{b}\geq 0$; $S_{a}+S_{b}\geq 0$; $S_{c}+S_{b}\geq 0$

Theo tiêu chuẩn nguyên lý S.O.S thì (1) đúng

Sr, mình đã làm bài 14 thì ra mạng lag chưa gửi được.

14)
Cách 2:

Giả sử $a=min\left \{ a;b;c \right \}$ (1)

Dễ thấy: $\frac{\sum a^2}{\sum ab}\geq 1$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{\sum a^2}{\sum ab}\geq \frac{(\sum a^2)+a^2}{(\sum ab)+a^2}=\frac{2a^2+b^2+c^2}{(a+b)(a+c)}$

Vậy ta cần cm: $\frac{2a^2+b^2+c^2}{(a+b)(a+c)} +\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

$\Leftrightarrow \frac{(b+c)(2a^2+b^2+c^2)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

$\Leftrightarrow 2a^2b+b^3+bc^2+2a^2c+b^2c+c^3+8abc\geq 2abc+2a^2b+2ac^2+2a^2c+2b^2c+2ab^2+2bc^2+2abc$

$\Leftrightarrow (b-c)^2(b+c-2a)\geq 0$ (Luôn đúng do $(b-c)^2\geq 0;b-a>0;c-a>0$ vì (1))



#46 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 08-02-2014 - 06:58

18) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

TT bài 11.

18) Áp dụng cauchy 3 số:

$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{6+2(a+b+c)}{8}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

(Áp dụng Cauchy 3 số)

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 27-09-2014 - 11:46


#47 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 08-02-2014 - 11:28



19) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$


 

 

Đặt $x=\frac{1}{a};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ (x, y, z > 0). Mà abc = 1 nên xyz = 1.

 

$\Rightarrow a+b=z(x+y) \Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{x^2}{y+z}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum (\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4})-\frac{x+y+z}{2}$

 

Mà $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4} \geq x$ (Cauchy cho 2 số) nên $\Rightarrow \sum (\frac{x^2}{y+z} + \frac{y+z}{4}) \geq x+y+z$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3(b+c)} \geq (x+y+z)-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$ (Cauchy cho 3 số)

 

$\Rightarrow$ đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 08-02-2014 - 11:35


#48 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 08-02-2014 - 11:54


21) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq 1$

 

 

Ta c/m BĐT phụ $a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b)$ với a, b > 0:

 

(C/m tương đương) $a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b) \Leftrightarrow a^5-a^3b^2+b^5-a^2b^3 \geq 0$ 

 

$\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a^2-b^2) \geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2) \geq 0$ (luôn đúng do a, b > 0)

 

Khi đó: $\frac{ab}{a^5+b^5+ab} \leq \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{1}{ab(a+b+c)}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)} = 1$ (đưa $\frac{1}{a+b+c}$ ra ngoài rồi quy đồng bên trong)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 08-02-2014 - 11:55


#49 hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:darkness
  • Sở thích:???

Đã gửi 08-02-2014 - 12:18

11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

1 cách nữa cho bài này

$(a+b+c)^{2}=9\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3$

ta có

$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}= \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+bc+ac}\geq \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+3}= \sum (a-\frac{ 3a}{ a^{2}+3})$

áp dụng bđt cô si ta có

$\sum (a-\frac{ 3a}{ a^{2}+3})\geq \sum (a-\frac{3a}{4\sqrt[4]{a^{2}}})= \sum (a-\frac{3\sqrt[4]{a^{2}}}{4})\geq \sum (a-\frac{3(2a+2)}{16})= \frac{3}{4}$

vậy ta  được đpcm



#50 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 08-02-2014 - 14:03

19) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

 

Đặt $x=\frac{1}{a};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ (x, y, z > 0). Mà abc = 1 nên xyz = 1.

 

$\Rightarrow a+b=z(x+y) \Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{x^2}{y+z}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum (\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4})-\frac{x+y+z}{2}$

 

Mà $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4} \geq x$ (Cauchy cho 2 số) nên $\Rightarrow \sum (\frac{x^2}{y+z} + \frac{y+z}{4}) \geq x+y+z$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3(b+c)} \geq (x+y+z)-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$ (Cauchy cho 3 số)

 

$\Rightarrow$ đpcm.

19)
Cách 2:

$\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{a^2b^2c^2}{a^3(b+c)}=\sum \frac{b^2c^2}{a(b+c)}\geq \frac{(\sum ab)^2}{2\sum ab}=\frac{\sum ab}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}$ (Cauchy 3 số)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 18:06


#51 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 08-02-2014 - 18:24

20) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{ab}{c}\geq 3$

 

20)
$\sum \frac{ab}{c}\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{a^2b^2}{c^2}+2\sum a^2\geq 9=3\sum a^2$ (Bình phương 2 vế)

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2b^2}{c^2}\geq \sum a^2$ (*)

Mà $\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\geq 2\sqrt{b^4}=2b^2$ (Cauchy)
cmtt...

Vậy (*) luôn đúng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 18:24


#52 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 08-02-2014 - 18:56

22) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=8 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq 1$

 

Bài này làm chưa hoàn chỉnh đâu nhé.

22)

$\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\leq \frac{a^2+2}{2}$ (Cauchy)

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq \frac{2}{a^2+2}$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq 2\sum \frac{1}{a^2+2}$

Vậy ta cần CM: $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq \frac{1}{2}$

 

Mọi người chứng minh BĐT phụ này đi.

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 18:56


#53 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 08-02-2014 - 19:04

23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$

 

25) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{\sum a}{4}$

 

26) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{\sum a}{6}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 13:59


#54 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 08-02-2014 - 19:06

 

Bài này làm chưa hoàn chỉnh đâu nhé.

22)

$\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\leq \frac{a^2+2}{2}$ (Cauchy)

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq \frac{2}{a^2+2}$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq 2\sum \frac{1}{a^2+2}$

Vậy ta cần CM: $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq \frac{1}{2}$

 

Mọi người chứng minh BĐT phụ này đi.

 

 

 

Đặt $a=\frac{2yz}{x^2},b=\frac{2xz}{y^2},c=\frac{2xy}{z^2}$

$= > \sum \frac{1}{a^2+2}=\sum \frac{1}{(\frac{2yz}{x^2})^2+2}=\sum \frac{x^4}{2x^4+4y^2z^2}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{2(\sum x^4+2\sum y^2z^2}=\frac{(\sum x^2)^2}{2(\sum x^2)^2}=\frac{1}{2}$



#55 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 08-02-2014 - 19:09

23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$

 

25) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{\sum a}{4}$

 

26) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{\sum a}{6}$

Bài 23:Ta có:$\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{9}{\sum a+\sum bc}\geq \frac{9}{1+\frac{(\sum a)^2}{3}}=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{27}{4}$



#56 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 08-02-2014 - 19:11

23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$

 

25) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{\sum a}{4}$

 

26) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{\sum a}{6}$

Bài 24:Ta có:$\sum \frac{ab}{a+b+2c}=\sum \frac{ab}{(a+c)+(a+c)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{ab}{a+c})=\frac{1}{4}(\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{bc}{a+c})=\frac{1}{4}(\sum a)$



#57 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 08-02-2014 - 19:14

23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$

 

25) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{\sum a}{4}$

 

26) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{\sum a}{6}$

Bài 26:Ta có:$\sum \frac{ab}{a+3b+2c}=\sum \frac{ab}{(c+b)+(c+a)+2b}\leq \frac{1}{9}(\sum \frac{ab}{c+b}+\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{ab}{2b})=\frac{1}{9}(\sum \frac{ab}{c+b}+\sum \frac{ac}{c+b}+\sum \frac{a}{2})=\frac{\sum a}{6}$



#58 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 08-02-2014 - 21:41


25) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{\sum a}{4}$

 

 

Ta có $\frac{ab}{a+b+2c}=\frac{ab}{(c+a)+(a+b)} \leq \frac{1}{4}.(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b})$ (Cauchy dạng cộng mẫu số cho 2 số)

 

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4}.\sum (\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b})=\frac{1}{4}.\sum a$

 

(cộng các phân số cùng mẫu lại và rút gọn)

 

$\Rightarrow$ đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 08-02-2014 - 21:45


#59 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 09-02-2014 - 09:21

23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

Bài 23:Ta có:$\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{9}{\sum a+\sum bc}\geq \frac{9}{1+\frac{(\sum a)^2}{3}}=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{27}{4}$

Các bạn làm thì viết lại đề nha, để mình không phải trích dẫn đề nữa.

23) Cách 2:

$\sum \frac{1}{a+bc}=\sum \frac{1}{1-b-c+bc}=\sum \frac{1}{(1-b)(1-c)}$

Có: $\frac{1}{(1-b)(1-c)}+\frac{27(1-b)}{8}+\frac{27(1-c)}{8}\geq 3.\frac{9}{4}=\frac{27}{4}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1-b)(1-c)}+\frac{\sum 54(1-a)}{8}\geq \frac{81}{4}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1-b)(1-c)}+\frac{27}{4}(3-a-b-c)\geq \frac{81}{4}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

Bài 24:Ta có:$\sum \frac{ab}{a+b+2c}=\sum \frac{ab}{(a+c)+(a+c)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{ab}{a+c})=\frac{1}{4}(\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{bc}{a+c})=\frac{1}{4}(\sum a)$

 

 

Ta có $\frac{ab}{a+b+2c}=\frac{ab}{(c+a)+(a+b)} \leq \frac{1}{4}.(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b})$ (Cauchy dạng cộng mẫu số cho 2 số)

 

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4}.\sum (\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b})=\frac{1}{4}.\sum a$

 

(cộng các phân số cùng mẫu lại và rút gọn)

 

$\Rightarrow$ đpcm

 

2 bài trên giống nhau và đều là bài 25

Daicagiangho1998 fix thành bài 25 đi.

 

 

 

 

24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$

 

24)

 

$a^3c+b^3a+c^3b=abc\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b}=1$
Áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu có:
$1=\sum \frac{a^2}{b}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a}=\sum \sum a$
Áp dụng lần 2: $\sum \frac{b}{a^2+ab}=\sum \frac{1}{\frac{a^2}{b}+a}\geq \frac{9}{\sum \frac{a^2}{b}+\sum a}\geq \frac{9}{1+1}=\frac{9}{2}$

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 09:23


#60 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 09-02-2014 - 09:27

27) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt{a^2+b^2}\geq \sqrt{2}.\sum a$

28) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a^3+b^3}\geq \sqrt[3]{2}.\sum a$
29) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[4]{a^4+b^4}\geq \sqrt[4]{2}.\sum a$
30) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\geq \sqrt[5]{2}.\sum a$
Tổng quát:
31) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[n]{a^n+b^n}\geq \sqrt[n]{2}.\sum a$
 
P/s: Phần gõ $\LaTeX$ lại bị làm sao rồi. Mọi người vào đây để gõ rồi copy sang diễn đàn, nhớ là kẹp $$ vào :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 13:58





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh