Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 768 trả lời

#761 T1Dong

T1Dong

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương city trời lặng gió
  • Sở thích:solo Lol liên hệ facebook:Đông Nghiêm

Đã gửi 18-08-2020 - 20:31

$\boxed{\textbf{toán hay}}$

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng 

$7(ab+bc+ca)\leq 2+9abc$

xin trình bày cách đồng bậc
BĐT cần chứng minh tương đương
$7(\sum a)(\sum ab)\leq 2(\sum a)^3+9abc<=>7\sum ab(a+b)+12abc\leq 2\sum a^3+6\prod (a+b)<=>2\sum a^3\geq \sum ab(a+b)$
Bổ đề quen thuộc


  • Pob yêu thích

kiến thức bao la
Đời ta nhỏ hẹp
 


#762 T1Dong

T1Dong

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương city trời lặng gió
  • Sở thích:solo Lol liên hệ facebook:Đông Nghiêm

Đã gửi 19-08-2020 - 16:09

Góp bài cho group
Cho a,b,c>0;a+b+c=1.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{2a^2+bc}+\frac{1}{2b^2+ca}+\frac{1}{2c^2+ab}\geq \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}$


  • Pob yêu thích

kiến thức bao la
Đời ta nhỏ hẹp
 


#763 hienprogamin

hienprogamin

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức và Hình Học

Đã gửi 19-08-2020 - 16:23

Cho các số thực a,b,c thõa mãn a+b+c=1 .CMR $8abc-8\leq (ab+bc+ca+1)^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hienprogamin: 19-08-2020 - 16:23

" Nếu cậu là một phương trình phức tạp
Tớ xin nguyện làm công cụ đạo hàm
Theo dõi cậu dù cách xa vô cực
Tiến lại gần như lim tiến về 0”


#764 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 19-08-2020 - 20:15

Cho các số thực a,b,c thõa mãn a+b+c=1 .CMR $8abc-8\leq (ab+bc+ca+1)^2$

Chứng minh như sau: Đặt $t=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab}{9}}$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{1}{3}+6t^{2}; bc+ca+ab=\frac{1}{3}-3t^{2}$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz: $2(b^{2}+c^{2})\geq (b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 2(\frac{1}{3}+6t^{2}-a^{2})\geq (1-a)^{2}$

$\Rightarrow a\in [\frac{1}{3}-2t,\frac{1}{3}+2t]$

$\Rightarrow a,b,c\in [\frac{1}{3}-2t,\frac{1}{3}+2t]$

$\Rightarrow abc\leq (\frac{1}{3}+2t)(\frac{1}{3}-t)^{2}$

Cần chứng minh: $(\frac{4}{3}-3t)^{2}+8\geq 8(\frac{1}{3}+2t)(\frac{1}{3}-t)^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(3t-4)^{2}(27t^{2}+4t+16)}{27}\geq 0$ (đúng)

Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=3; b=c=-1$ và các hoán vị tương ứng. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 20-08-2020 - 09:27

$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#765 hienprogamin

hienprogamin

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức và Hình Học

Đã gửi 19-08-2020 - 23:17

Chứng minh như sau: Đặt $t=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab}{9}}$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{1}{3}+6t^{2}; bc+ca+ab=\frac{1}{3}-3t^{2}$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz: $2(b^{2}+c^{2})\geq (b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 2(\frac{1}{3}-a^{2})\geq (1-a)^{2}$

$\Rightarrow a\in [\frac{1}{3}-2t,\frac{1}{3}+2t]$

$\Rightarrow a,b,c\in [\frac{1}{3}-2t,\frac{1}{3}+2t]$

$\Rightarrow abc\leq (\frac{1}{3}+2t)(\frac{1}{3}-t)^{2}$

Cần chứng minh: $(\frac{4}{3}-3t)^{2}+8\geq 8(\frac{1}{3}+2t)(\frac{1}{3}-2t)^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(3t-4)^{2}(27t^{2}+4t+16)}{27}\geq 0$ (đúng)

Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=3; b=c=-1$ và các hoán vị tương ứng. $\square$

bạn có kinh nghiệm nào để đặt t như zậy ko ? mik rất thích cách kiểu như này vậy :D  :like


" Nếu cậu là một phương trình phức tạp
Tớ xin nguyện làm công cụ đạo hàm
Theo dõi cậu dù cách xa vô cực
Tiến lại gần như lim tiến về 0”


#766 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 20-08-2020 - 07:49

bạn có kinh nghiệm nào để đặt t như zậy ko ? mik rất thích cách kiểu như này vậy :D  :like

À dễ hiểu mà :D Do mình có BĐT Cauchy-Schwarz: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}$ nên mình đặt vậy là hợp lệ. Thứ hai là phương pháp tạo tích sẽ đảm bảo các BĐT có dấu bằng tại hai biến bằng nhau. Do đó nó có thể giải quyết hầu hết các BĐT đối xứng :). Cuối cùng là chọn $t$ như vậy là để giảm lượng tính toán tối đa, giúp BĐT bớt cồng kềnh hơn :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 20-08-2020 - 08:00

$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#767 hienprogamin

hienprogamin

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức và Hình Học

Đã gửi 20-08-2020 - 20:37

Chứng minh như sau: Đặt $t=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab}{9}}$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{1}{3}+6t^{2}; bc+ca+ab=\frac{1}{3}-3t^{2}$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz: $2(b^{2}+c^{2})\geq (b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 2(\frac{1}{3}+6t^{2}-a^{2})\geq (1-a)^{2}$

$\Rightarrow a\in [\frac{1}{3}-2t,\frac{1}{3}+2t]$

$\Rightarrow a,b,c\in [\frac{1}{3}-2t,\frac{1}{3}+2t]$

$\Rightarrow abc\leq (\frac{1}{3}+2t)(\frac{1}{3}-t)^{2}$

Cần chứng minh: $(\frac{4}{3}-3t)^{2}+8\geq 8(\frac{1}{3}+2t)(\frac{1}{3}-t)^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(3t-4)^{2}(27t^{2}+4t+16)}{27}\geq 0$ (đúng)

Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=3; b=c=-1$ và các hoán vị tương ứng. $\square$

đoạn này là sao hả bạn, sao có $(\frac{1}{3}-t)^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hienprogamin: 20-08-2020 - 20:38

" Nếu cậu là một phương trình phức tạp
Tớ xin nguyện làm công cụ đạo hàm
Theo dõi cậu dù cách xa vô cực
Tiến lại gần như lim tiến về 0”


#768 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 20-08-2020 - 20:45

đoạn này là sao hả bạn, sao có $(\frac{1}{3}-t)^2$

Xét tích $(a-\frac{1}{3}-2t)(b-\frac{1}{3}-2t)(c-\frac{1}{3}-2t)$ nhé bạn :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 20-08-2020 - 20:46

  • Pob yêu thích

$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$


#769 hienprogamin

hienprogamin

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức và Hình Học

Đã gửi 20-08-2020 - 21:14

Xét tích $(a-\frac{1}{3}-2t)(b-\frac{1}{3}-2t)(c-\frac{1}{3}-2t)$ nhé bạn :)

xét ghi giùm mình các bước làm thêm để ra bước màu đỏ i bạn  :(

 

Chứng minh như sau: Đặt $t=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc-ca-ab}{9}}$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{1}{3}+6t^{2}; bc+ca+ab=\frac{1}{3}-3t^{2}$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz: $2(b^{2}+c^{2})\geq (b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 2(\frac{1}{3}+6t^{2}-a^{2})\geq (1-a)^{2}$

$\Rightarrow a\in [\frac{1}{3}-2t,\frac{1}{3}+2t]$

$\Rightarrow a,b,c\in [\frac{1}{3}-2t,\frac{1}{3}+2t]$

$\Rightarrow abc\leq (\frac{1}{3}+2t)(\frac{1}{3}-t)^{2}$

Cần chứng minh: $(\frac{4}{3}-3t)^{2}+8\geq 8(\frac{1}{3}+2t)(\frac{1}{3}-t)^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(3t-4)^{2}(27t^{2}+4t+16)}{27}\geq 0$ (đúng)

Ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra chỉ khi $a=3; b=c=-1$ và các hoán vị tương ứng. $\square$


" Nếu cậu là một phương trình phức tạp
Tớ xin nguyện làm công cụ đạo hàm
Theo dõi cậu dù cách xa vô cực
Tiến lại gần như lim tiến về 0”





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh