Chủ đề này có 742 trả lời

[buiminhhieu]

Sai đề chỗ màu đỏ Phải là $\leq 10$

142 Cho a, b, c thuộc [1,2]

Chứng minh $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 10$

p/s: mình không biết bài 142 có hay chưa vì mình tìm k thấy.nếu có rồi thì nhắc mình nhé

Giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b}\leq 7$

$a\geq b\geq c$ Khi đó $(a-b)(b-c)\geq 0\Leftrightarrow ab+bc\geq b^{2}+ac\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+\frac{c}{a}\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b} & \\ 1+ \frac{a}{c}\geq \frac{b}{c}+\frac{a}{b}& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$$2(1+\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\geq \sum \frac{a}{b}$ Đặt $\frac{a}{c}=x\Rightarrow 1\leq x\leq 2$

Ta đi c/m $x+\frac{1}{x}\leq \frac{5}{2}$

C/m: Ta có $1\leq x\leq 2\Rightarrow (x-1)(2-x)\geq 0\Rightarrow x^{2}+2\leq 3x\Rightarrow x+\frac{2}{x}\leq 3;x\leq 2\Rightarrow 3\geq x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\geq x+\frac{1}{x}+\frac{1}{2}$

$\Rightarrow x+\frac{1}{x}\leq \frac{5}{2}$

QED

[BoY LAnH LuNg]

141)

$\frac{1}{8}(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+2}})= \frac{1}{8}.\frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{\sqrt{k(k+2)}}= \frac{1}{8}.\frac{2}{\sqrt{k(k+1)}.(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})}= \frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}.(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})}> \frac{1}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})^{3}}$

chỗ màu đỏ tại sao

[BoY LAnH LuNg]

146, giải hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=xy & & \\ x^{2008}+y^{2008}=8. \sqrt{(xy)^{2005}} & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoY LAnH LuNg: 05-04-2014 - 17:47

[buiminhhieu]

140. Cho $a,b>0,(a+1)(b+1)=4$. Tìm min $Q=\frac{ab}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}$

Đặt $a+1=x;b+1=y\Rightarrow xy=4;y=\frac{4}{x}$ ;$(a+1)(b+1)=4\Rightarrow a+b+ab=3$

Thay vào Q ta được:

$Q=\frac{ab}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}=\frac{3-a-b}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}=\frac{3}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}$-1

$=\frac{3}{x+\frac{4}{x}-2}+\frac{x-1}{\frac{4}{x}+2}+\frac{\frac{4}{x}-1}{x+2}=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{2}-x}{2x+4}+\frac{4-x}{x^{2}+2x}$-1

$=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x(x^{2}-x)}{2x(x+2)}+\frac{8-2x-x}{2(x^{2}+2x)}=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}$-1

Xét Q-1=$\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}-2=$$\frac{3x}{x^{2}-2x+4}-\frac{3}{2}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}-\frac{1}{2}=\frac{2.(x-2)^{2}(x+2)}{2(2x^{2}+4x)}-\frac{3(x-2)^{2}}{2(x^{2}-2x+4)}$

$=(x-2)^{2}(\frac{(x+2)}{2(x^{2}+2)}-\frac{3}{2(x^{2}-2x+4)})$=$(x-2)^{2}(\frac{2x^{3}-2x^{2}+4}{2(x^{4}+8x)})=(x-2)^{2}(\frac{2x^{2}(x-1)+4}{2(x^{4}+8x)})\geq 0$

(Do x>1)

Do đó $Q\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 04-04-2014 - 17:40

[buiminhhieu]

146, giải hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=xy & & \\ x^{2008}+y^{2008}=8. \sqrt{(xy)^{2005}} & & \end{matrix}\right.$

ĐK $x,y>0$

Ta có $xy=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\geq 2\sqrt{\sqrt{xy}}\Rightarrow xy\geq \sqrt[3]{16}$

$x^{2008}+y^{2008}\geq 2\sqrt{(xy)^{2005}.(xy)^{3}}\geq 2\sqrt{(xy)^{2005}.16}=8\sqrt{(xy)^{2005}}$

Dấu "=" khi $x=y=\sqrt[3]{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 04-04-2014 - 17:54

[nguyenhongsonk612]

Đặt $a+1=x;b+1=y\Rightarrow xy=4;y=\frac{4}{x}$ ;$(a+1)(b+1)=4\Rightarrow a+b+ab=3$

Thay vào Q ta được:

$Q=\frac{ab}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}=\frac{3-a-b}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}=\frac{3}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}$-1

$=\frac{3}{x+\frac{4}{x}-2}+\frac{x-1}{\frac{4}{x}+2}+\frac{\frac{4}{x}-1}{x+2}=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{2}-x}{2x+4}+\frac{4-x}{x^{2}+2x}$-1

$=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x(x^{2}-x)}{2x(x+2)}+\frac{8-2x-x}{2(x^{2}+2x)}=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}$-1

Xét Q-1=$\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}-2=$$\frac{3x}{x^{2}-2x+4}-\frac{3}{2}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}-\frac{1}{2}=\frac{2.(x-2)^{2}(x+2)}{2(2x^{2}+4x)}-\frac{3(x-2)^{2}}{2(x^{2}-2x+4)}$

$=(x-2)^{2}(\frac{(x+2)}{2(x^{2}+2)}-\frac{3}{2(x^{2}-2x+4)})$=$(x-2)^{2}(\frac{2x^{3}-2x^{2}+4}{2(x^{4}+8x)})=(x-2)^{2}(\frac{2x^{2}(x-1)+4}{2(x^{4}+8x)})\geq 0$

(Do x>1)

Do đó $Q\geq 1$

Bài này dấu bằng khi $x=y$ $\Leftrightarrow a=b=1$ à Hiếu

P/s: Nhưng tìm dấu bằng ở đánh giá chỗ nào thế cậu?   

[nguyenhongsonk612]

Bài 147:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^3+16}+\frac{b}{c^3+16}+\frac{c}{a^3+16}\geq \frac{1}{6}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 04-04-2014 - 20:30

[Trang Luong]

Đặt $a+1=x;b+1=y\Rightarrow xy=4;y=\frac{4}{x}$ ;$(a+1)(b+1)=4\Rightarrow a+b+ab=3$

Thay vào Q ta được:

$Q=\frac{ab}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}=\frac{3-a-b}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}=\frac{3}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}$-1

$=\frac{3}{x+\frac{4}{x}-2}+\frac{x-1}{\frac{4}{x}+2}+\frac{\frac{4}{x}-1}{x+2}=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{2}-x}{2x+4}+\frac{4-x}{x^{2}+2x}$-1

$=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x(x^{2}-x)}{2x(x+2)}+\frac{8-2x-x}{2(x^{2}+2x)}=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}$-1

Xét Q-1=$\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}-2=$$\frac{3x}{x^{2}-2x+4}-\frac{3}{2}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}-\frac{1}{2}=\frac{2.(x-2)^{2}(x+2)}{2(2x^{2}+4x)}-\frac{3(x-2)^{2}}{2(x^{2}-2x+4)}$

$=(x-2)^{2}(\frac{(x+2)}{2(x^{2}+2)}-\frac{3}{2(x^{2}-2x+4)})$=$(x-2)^{2}(\frac{2x^{3}-2x^{2}+4}{2(x^{4}+8x)})=(x-2)^{2}(\frac{2x^{2}(x-1)+4}{2(x^{4}+8x)})\geq 0$

(Do x>1)

Do đó $Q\geq 1$

Thế cuối cùng dấu = xảy ra khi nào 

[buiminhhieu]

Thế cuối cùng dấu = xảy ra khi nào 

a=b=1 kìa x=2 ra y=2 ra a=b=1

[Trang Luong]

Đặt $a+1=x;b+1=y\Rightarrow xy=4;y=\frac{4}{x}$ ;$(a+1)(b+1)=4\Rightarrow a+b+ab=3$

Thay vào Q ta được:

$Q=\frac{ab}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}=\frac{3-a-b}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}=\frac{3}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}$-1

$=\frac{3}{x+\frac{4}{x}-2}+\frac{x-1}{\frac{4}{x}+2}+\frac{\frac{4}{x}-1}{x+2}=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{2}-x}{2x+4}+\frac{4-x}{x^{2}+2x}$-1

$=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x(x^{2}-x)}{2x(x+2)}+\frac{8-2x-x}{2(x^{2}+2x)}=\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}$-1

Xét Q-1=$\frac{3x}{x^{2}-2x+4}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}-2=$$\frac{3x}{x^{2}-2x+4}-\frac{3}{2}+\frac{x^{3}-x^{2}-2x+8}{2x^{2}+4x}-\frac{1}{2}=\frac{2.(x-2)^{2}(x+2)}{2(2x^{2}+4x)}-\frac{3(x-2)^{2}}{2(x^{2}-2x+4)}$

$=(x-2)^{2}(\frac{(x+2)}{2(x^{2}+2)}-\frac{3}{2(x^{2}-2x+4)})$=$(x-2)^{2}(\frac{2x^{3}-2x^{2}+4}{2(x^{4}+8x)})=(x-2)^{2}(\frac{2x^{2}(x-1)+4}{2(x^{4}+8x)})\geq 0$

(Do x>1)

Do đó $Q\geq 1$

Lằng nhằng dắc dối, chả hiểu j cả.

Bài chữa:

Từ $GT\Rightarrow (a+1)(b+1)=4\Rightarrow ab=3-a-b\Leftrightarrow -2ab=2(a+b)-6$

Ta có:

$\frac{ab}{a+b}=\frac{3-a-b}{a+b}=\frac{3}{a+b}-1$

$\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}=\frac{a^2+3a+b^2+3b}{(a+3)(b+3)}=\frac{(a+b)^2-2ab+3(a+b)}{ab+3(a+b)+9}=\frac{(a+b)^2+5(a+b)-6}{2(a+b)+12}$

Đặt $a+b=t$$\Rightarrow Q=\frac{3}{t}-1+\frac{t^2+5t-6}{2(t+6)}=\frac{3}{t}-1+\frac{(t+6)(t-1)}{2(t+6)}=\frac{3}{t}-1+\frac{t-1}{2}=\frac{3}{t}+\frac{t}{2}-\frac{3}{2}\geq 2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-1,5=\sqrt{6}-1.5$

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt{6}\\ ab=3-\sqrt{6} \end{matrix}\right.$ m.n thử giải ra xem, vô tỷ quá

vì $a,b$ có vai trò như nhau 

P/s: Theo nhu cầu của buiminhieu thì mk mới đăng đáp án 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 04-04-2014 - 20:47

[buiminhhieu]

Lằng nhằng dắc dối, chả hiểu j cả.

Bài chữa:

Từ $GT\Rightarrow (a+1)(b+1)=4\Rightarrow ab=3-a-b\Leftrightarrow -2ab=2(a+b)-6$

Ta có:

$\frac{ab}{a+b}=\frac{3-a-b}{a+b}=\frac{3}{a+b}-1$

$\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}=\frac{a^2+3a+b^2+3b}{(a+3)(b+3)}=\frac{(a+b)^2-2ab+3(a+b)}{ab+3(a+b)+9}=\frac{(a+b)^2+5(a+b)-6}{2(a+b)+12}$

Đặt $a+b=t$$\Rightarrow Q=\frac{3}{t}-1+\frac{t^2+5t-6}{2(t+6)}=\frac{3}{t}-1+\frac{(t+6)(t-1)}{2(t+6)}=\frac{3}{t}-1+\frac{t-1}{2}=\frac{3}{t}+\frac{t}{2}-\frac{3}{2}\geq 2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-1,5=\sqrt{6}-1.5$

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt{6}\\ ab=3-\sqrt{6} \end{matrix}\right.$ m.n thử giải ra xem, vô tỷ quá

vì $a,b$ có vai trò như nhau 

P/s: Theo nhu cầu của buiminhieu thì mk mới đăng đáp án 

ÔÔ b<0 kìa 

[Trang Luong]

ÔÔ b<0 kìa 

biết thử máy tính k đấy. Theo viet đảo có $a,b$ là nghiệm của pt $x^2-x\sqrt{6}+\left ( 3-\sqrt{6} \right )=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=0,2503272285\\ x_2=2,199162514 \end{matrix}\right.$

[Trang Luong]

Bài 148. Cho $a,b,c>0.$ Tìm $maxP=\frac{1}{\sqrt{1+a^2+b^2+c^2}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 05-04-2014 - 19:17

[BoY LAnH LuNg]

149, Cho $A=\frac{x^{4}(y-z)+y^{4}(z-x)+z^{4}(x-y)}{(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}}$ trong đó x, y, z là các số nguyên , $x> y> z$.

CMR A là số nguyên dương

[lahantaithe99]

Bài 148. Cho $a,b,c>0.$ Tìm $maxP=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Bài này theo mình không tìm đc max (ý kiến cá nhân) 

Thấy tính đối xứng của $a,b,c$ và $a,b,c>0$ nên chác dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$

Thay $a=b=c$ bằng một số giá trị thì cứ giá trị càng nhỏ thì $P$ càng lớn, Vd như $a=b=c=0,0001$ thì $P$ lên đến hơn $5000$, vậy nếu $a=b=c$ bàng một số nhỏ hơn nữa thì không biết giá trị là bao nhiêu???????????

[Trang Luong]

Bài này theo mình không tìm đc max (ý kiến cá nhân) 

Thấy tính đối xứng của $a,b,c$ và $a,b,c>0$ nên chác dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$

Thay $a=b=c$ bằng một số giá trị thì cứ giá trị càng nhỏ thì $P$ càng lớn, Vd như $a=b=c=0,0001$ thì $P$ lên đến hơn $5000$, vậy nếu $a=b=c$ bàng một số nhỏ hơn nữa thì không biết giá trị là bao nhiêu???????????

xin lỗi đề viết nhầm . Phải là $\frac{1}{\sqrt{1+a^2+b^2+c^2}}$

[BoY LAnH LuNg]

144. Cho x + y = 1. Tìm min $\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)$

 

@Viet Hoang 99: Chú ý STT bài toán.

Ta có $x+y=1$ nên $(x+y)^{2}=1$ và $\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}=4$

$(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})=1-(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+\frac{1}{x^{2}y^{2}}=1-\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}=1+\frac{2}{xy}\geq 1+8=9$

[nguyenhongsonk612]

Bài 150: CMR với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có:

$\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{b^2+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab}}\geq 3$

Bài 151: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3$

Bài 152: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tùy ý. CMR:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

Bài 153: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta luôn có:

$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$

Bài 154: Cho $a,b,c>0$. CMR:

$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

Bài 155: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta đều có:

$\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+a+c}+\frac{1}{2c+a+b}\leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

Bài 156: Cho biểu thức $P=(\frac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}).\frac{4\sqrt{x}}{3}$ với $x\geq 0$.

Tìm max và min của P

P/s: Đây, mình còn một đống bài tập chưa có lời giải đây! Mệt     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 06-04-2014 - 17:31

[canhhoang30011999]

Bài 150: CMR với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có:

$\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{b^2+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab}}\geq 3$

Bài 151: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3$

Bài 152: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tùy ý. CMR:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

Bài 153: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta luôn có:

$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$

Bài 154: Cho $a,b,c>0$. CMR:

$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

Bài 155: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta đều có:

$\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+a+c}+\frac{1}{2c+a+b}\leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

Bài 156: Cho biểu thức $P=(\frac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}).\frac{4\sqrt{x}}{3}$ với $x\geq 0$.

Tìm max và min của P

P/s: Đây, mình còn một đống bài tập chưa có lời giải đây! Mệt     

155

$\frac{4}{2(a+3b)}+\frac{1}{b+3c}+\frac{16}{4(c+3a)}\geq \frac{49}{14a+2b+2c}$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 06-04-2014 - 17:31

[BoY LAnH LuNg]

157, Cho $x,y,z> 0$ thoả mãn $xyz=1$

Tìm GTLN của $M=\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}$

158, $CMR$ với $a,b,c> 0$ ta có BDT $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{6abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoY LAnH LuNg: 07-04-2014 - 17:49