Bài 165:
Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $(0;1)$ thoả mãn $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$.
Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4}$
P/s: Mình thấy bài này cũng khá hay, hình như giống đề thi thử đại học năm nay của tỉnh Vĩnh Phúc thì phải. Mọi người làm thử xem sao nhé!
$abc=(1-a)(1-b)(1-c)\Rightarrow abc=1-(a+b+c)+ab+bc+ca-abc$
$\Rightarrow 2abc=1-(a+b+c)+ab+bc+ca(1)$
Lại có $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$ và $a,b,c\epsilon (0,1)$
$\Rightarrow 1=(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)$
áp dụng bdt côsi
$(\frac{1}{a}-1)+(\frac{1}{b}-1)+(\frac{1}{c}-1)\geq 3\sqrt[3]{(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)}$
$(\frac{1}{a}-1)+(\frac{1}{b}-1)+(\frac{1}{c}-1)\geq 3$
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 6$
$\Rightarrow ab+bc+ca\geq 6abc$(2)
$(1)(2)\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3-3(a+b+c)+3(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow 0\geq 3-(a+b+c)+2(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)^{2}-3(a+b+c)+3$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq (x+y+z-\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$
suy ra dpcm