Chủ đề này có 742 trả lời

[BABY CUTE]

167, cho x,y,z là các số dương thoả x+y+z=xy+yz+zx

CM  $\frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}$ $\leq 1$

[BoY LAnH LuNg]

167, cho x,y,z là các số dương thoả x+y+z=xy+yz+zx

CM  $\frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}$ $\leq 1$

áp dụng bdt Bunyakovsky ta có

$(x^{2}+y+1)(1+y+z^{2})\geq (x+y+z)^{2}\Rightarrow \frac{1}{x^{2}+y+1}\leq \frac{1+y+z^{2}}{(x+y+z)^{2}}$

tương tự $\frac{1}{y^{2}+z+1}\leq \frac{1+z+x^{2}}{(x+y+z)^{2}}$

$\frac{1}{z^{2}+x+1}\leq \frac{1+x+y^{2}}{(x+y+z)^{2}}$

cộng 3 bất dẳng thức trên ta được 

$\frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}\leq \frac{3+x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(x+y+z)^{2}}$

ta chỉ cần cm 

$3+x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq (x+y+z)^{2}$

$\Leftrightarrow 3+xy+yz+zx+x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq (x+y+z)^{2}$

$\Leftrightarrow 3\leq xy+yz+zx$

do $x+y+z=xy+yz+zx$ và $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

nên $xy+yz+zx\leq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{3}$

$\Rightarrow xy+yz+zx\geq 3$

bài toán dc cm

 

 

p/s bài này mình làm rồi hi hi     

[hoangmanhquan]

Bài 168: Cho $a,b,c$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của biểu thức: $A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

 

Bài 169: Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\leq \sqrt{\sum \sqrt{a}.\sum \frac{1}{\sqrt{a}}}$

[nghiemthanhbach]

166, Cho $a,b$ là các số thực dương thoả $a+b=1$

 

CMR: $\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2+ab}\geq 8$

đánh giá điểm rơi

$VT=\frac{9}{3a^2+3b^2+3ab}+\frac{1}{3ab}+\frac{2}{3ab}\geq \frac{16}{3(a+b)^2}+\frac{2}{3.\frac{(a+b)^2}{4}}=8$

[Simpson Joe Donald]

166)  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 
$\frac{1}{a.b.3}$+$\frac{1}{a^2+b^2+a.b}$ $\geq$ $\frac{4}{4.a.b+a^2+b^2}$=$\frac{4}{1+2.a.b}$  
​Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương : 
2.$\sqrt{a.b}$ $\leq$ $a+b$=1 
Suy ra: 4.a.b $\leq$ $(a+b)^2$=1 
Suy ra a.b $\leq$ 0,25 <=> a.b.2+1 $\leq$ 1,5 
Suy ra: $\frac{4}{1+2.a.b}$ $\geq$ $\frac{8}{3}$ 
=> $\frac{1}{a.b.3}$+$\frac{1}{a^2+b^2+a.b}$ $\geq$ $\frac{8}{3}$ <=> VT $\geq$ VP (dpcm)
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 09-04-2014 - 10:52

[Hoang Tung 126]

Bài 168: Cho $a,b,c$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của biểu thức: $A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

 

Bài 169: Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\leq \sqrt{\sum \sqrt{a}.\sum \frac{1}{\sqrt{a}}}$

Bài 169:Ta có:$(\sum \sqrt{a})(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{abc}}}=9= > \sqrt{(\sum \sqrt{a})(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})}\geq 3$

Mà $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\leq \sqrt{3(\sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc})}\leq 3< = = > \sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc}\leq 3< = > \sum (1-\frac{a(b+c)}{a^2+bc})\geq 0< = > \frac{(a-b)(a-c)}{a^2+bc}+\frac{(b-c)(b-a)}{b^2+ac}+\frac{(c-a)(c-b)}{c^2+ab}\geq 0$

Nhưng bđt này luôn đúng vì đây là Schur mở rộng 

[Trang Luong]

Bài 140.  Cho $a,b,c,d,e$ là các số thực không âm biết $a+b+c+d+e=5$. Chứng minh : $abc+bcd+cde+dea+eab\leq 5$

[lahantaithe99]

Bài 140.  Cho $a,b,c,d,e$ là các số thực không âm biết $a+b+c+d+e=5$. Chứng minh : $abc+bcd+cde+dea+eab\leq 5$

Ở đây này

http://diendantoanho...từ-mathlinksro/

[synovn27]

Bài 141':  Cho $a,b.c$ dương và $abc = 1$. CMR $a + b + c \leq ab +bc +ca$

 

mod: đề nghị bạn học cách gõ Latex và đặt số bài tương ứng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 12-04-2014 - 17:43

[congtudung999]

141,cho a,b,c không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Chứng minh: $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} \leq \frac{1}{2}$

142,Cho x,y,z không âm thỏa mãn  $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$

Tìm Min $\sum \frac{x^{3}}{3y+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congtudung999: 12-04-2014 - 11:43

[Trang Luong]

Bài143. Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn : $xyz=x+y+z+2$

Chứng minh rằng : $\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{xz}\leq \frac{3}{2}$

[BoY LAnH LuNg]

 $cho a,b.c dương và abc = 1 cmr a + b + c \leq ab +bc +ca$

nhớ đánh số thứ tự

[littlemiumiu21]

đánh giá điểm rơi

$VT=\frac{9}{3a^2+3b^2+3ab}+\frac{1}{3ab}+\frac{2}{3ab}\geq \frac{16}{3(a+b)^2}+\frac{2}{3.\frac{(a+b)^2}{4}}=8$

t chưa biết rõ cách chọn điểm rơi của bđt này,bn nói rõ hộ t với

[littlemiumiu21]

$144$,(Tự sáng tác ^^) Với $a,b,c>0$ tmđk $3a+5b+8c=1$

CMR; $(1-a)^{3}(1-b)^{5}(1-c)^{8} \geqslant 15^{16}a^{3}b^{5}c^{8}$ 

 

@Viet Hoang 99: Chú ý không kẹp $$ vào trong tiếng Việt có dấu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-04-2014 - 09:28

[angleofdarkness]

t chưa biết rõ cách chọn điểm rơi của bđt này,bn nói rõ hộ t với

 

Chọn điểm rơi ở đây tức là chọn giá trị của biến để biểu thức đạt Max - Min cần tìm hay thỏa mãn BĐT đã cho.

 

Đối với những bài có biểu thức đối xứng giữa các biến (như bài của bạn chẳng hạn) thì điểm rơi thường là các biến bằng nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 13-04-2014 - 11:19

[lahantaithe99]

Bài143. Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn : $xyz=x+y+z+2$

Chứng minh rằng : $\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{xz}\leq \frac{3}{2}$

 

Cái chỗ $xz$ kia chắc là $\sqrt{xz}$

 

Từ giả thiết thu được $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=2$ (cái này tính toán thử ra bao nhiêu TH mới phát hiện ra)

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 

$(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}})^2\leqslant (\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1})(\frac{x+1}{xyz}+\frac{y+1}{xyz}+\frac{z+1}{xyz})$

 

$=\frac{2(x+y+z+3)}{xyz}=\frac{2(xyz+1)}{xyz}=2+\frac{2}{xyz}$

 

Từ giả thiết ta dễ chứng minh $xyz\geqslant 8\Rightarrow 2+\frac{2}{xyz}\leqslant \frac{9}{4}$ 

 

Do đó $(\sum \frac{1}{\sqrt{xy}})^2\leqslant \frac{9}{4}\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{xy}}\leqslant \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 16-04-2014 - 20:06

[Phuong Thu Quoc]

Bài 141':  Cho $a,b.c$ dương và $abc = 1$. CMR $a + b + c \leq ab +bc +ca$

 

mod: đề nghị bạn học cách gõ Latex và đặt số bài tương ứng.

Bài 141: Từ $abc=1\Rightarrow b=\frac{1}{ac}$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow a+c+\frac{1}{ac}\leq \left (a +c \right )\frac{1}{ac}+ac\Leftrightarrow \left ( 1-b \right )\left ( 1-a \right )\left ( 1-c \right )\geq 0$

Cái BĐT này ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 18-04-2014 - 14:45

[Hoang Tung 126]

$144$,(Tự sáng tác ^^) Với $a,b,c>0$ tmđk $3a+5b+8c=1$

CMR; $(1-a)^{3}(1-b)^{5}(1-c)^{8} \geqslant 15^{16}a^{3}b^{5}c^{8}$ 

 

@Viet Hoang 99: Chú ý không kẹp $$ vào trong tiếng Việt có dấu.

Ta có :$(1-a)^3(1-b)^5(1-c)^8=(3a+5b+8c-a)^3(3a+5b+8c-b)^5(3a+5b+8c-c)^8=(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8$

Theo Cosi thì $(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8\geq (15\sqrt[15]{a^2b^5c^8})^3(15\sqrt[15]{a^3b^4c^8})^5(15\sqrt[15]{a^3b^5c^7})^8=(15^{16})(a^3b^5c^8)$

Dấu = khi $a=b=c=\frac{1}{16}$

[lahantaithe99]

$144$,(Tự sáng tác ^^) Với $a,b,c>0$ tmđk $3a+5b+8c=1$

CMR; $(1-a)^{3}(1-b)^{5}(1-c)^{8} \geqslant 15^{16}a^{3}b^{5}c^{8}$ 

 

@Viet Hoang 99: Chú ý không kẹp $$ vào trong tiếng Việt có dấu.

 

Bài 141: Từ $abc=1\Rightarrow b=\frac{1}{ac}$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow a+c+\frac{1}{ac}\leq \left (a +c \right )\frac{1}{ac}+ac\Leftrightarrow \left ( 1-b \right )\left ( 1-a \right )\left ( 1-c \right )\geq 0$

Cái BĐT này luôn đúng..

Bài này sai đề, chắc anh Phuong Thu Quoc có nhầm lẫn gì  đó.

Vd như $a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{4};c=8$ thì BĐT đâu có đúng?

[littlemiumiu21]

Ta có :$(1-a)^3(1-b)^5(1-c)^8=(3a+5b+8c-a)^3(3a+5b+8c-b)^5(3a+5b+8c-c)^8=(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8$

Theo Cosi thì $(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8\geq (15\sqrt[15]{a^2b^5c^8})^3(15\sqrt[15]{a^3b^4c^8})^5(15\sqrt[15]{a^3b^5c^7})^8=(15^{16})(a^3b^5c^8)$

Dấu = khi $a=b=c=\frac{1}{16}$

$150$ C2: Bdt can CM
$<=> (\frac{1-a}{a})^{3}(\frac{1-b}{b})^{5}(\frac{1-c}{c})^{8} \geq 15^{16}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a}{1-a} & & \\ y=\frac{b}{1-b}& & \\ z=\frac{c}{1-c}& & \end{matrix}\right. => a=\frac{x}{1+x};b=\frac{y}{1+y};c=\frac{z}{1+z}$ và $x,y,z>0$ tm $\frac{3x}{1+x}+\frac{5y}{1+y}+\frac{8z}{1+z}=1$

CM:$x^{3}y^{5}z^{8}\leqslant \frac{1}{15^{16}}$
Mà $1=\frac{3x}{1+x}+\frac{5y}{1+y}+\frac{8z}{1+z}=\frac{x}{1+x}+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}$

và $\frac{1}{1+x}=1-\frac{x}{1+x}\geq 15\frac{\sqrt[15]{x^{2}y^{5}z^{8}}}{\sqrt[15]{(1+x)^{2}(1+y)^{5}(1+z)^{8}}}$

CMTT Nhân theo từng vế =>dpcm
 

Chú ý: Gõ công thức toán kẹp $ vào đầu và cuối, không kẹp vào phần tiếng Việt, 
Thêm nữa là gõ tiếng Việt có dấu. (Mà bạn gõ cứ như kiểu nhớ công thức toán ấy, toàn bị thiếu ngoặc " } " ở cuối)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-04-2014 - 12:03