Chủ đề này có 742 trả lời

[letankhang]

Bài này nhìn số má trâu bò quá!     

 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

 

$Q\geqslant 3\left [ \sqrt[12]{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} +\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\right ]$

 

$=3\left [ \sqrt[12]{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}+\frac{1}{\sqrt[4]{8}}.\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}} \right ]+3(1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$

 

 Cô si cho biểu thức thứ nhất

 

Biếu thức $(1)$ $\geqslant 2\sqrt[24]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{512abc}}\geqslant 2.\sqrt[24]{\frac{1}{64}}=2.\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$

 

Biểu thức $(2)$ $(1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\geqslant (1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}-\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$

 

Cộng vế suy ra $Q\geqslant 3(\sqrt[4]{\frac{1}{2}}+\sqrt{2})$

 

P/s: bài này cồng kềnh tốn bao nhiêu t/g, mà lại còn k biết có đúng k nữa 

Đây là lời giải của mình
Áp dụng BĐT AM-GM
$\Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\frac{1}{2}\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}}\sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq \frac{3}{2.\sqrt[4]{2}}$
Chứng minh tương tự với các BĐT còn lại !
Ta xét :
$(1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}})(\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}})\geq (1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}})(\sum \sqrt{\frac{2\sqrt{bc}}{a}})\geq (1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}})(3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{8abc}{abc}}})\geq (1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}}).3\sqrt{2}$
Cộng tất cả vế theo vế thì ta sẽ được :
$\Rightarrow Q\geq \frac{9}{2.\sqrt[4]{2}}+(1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}}).3\sqrt{2}=3(\sqrt[4]{\frac{1}{2}}+\sqrt{2})$
Dấu $"="$ xảy ra : $\Leftrightarrow a=b=c$
 

[BoY LAnH LuNg]

155, cho a,b,c là 3 cạnh một tam giác. CMR

a, $\sum \frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}> 3$

b, nếu $a\leq b\leq c  thì  (a+b+c)^{2}\leq 9bc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-04-2014 - 17:43

[BoY LAnH LuNg]

156, a, Cho x,y thỏa $4x^{2}+3y^{2}=\frac{3}{28}.Tìm GTLN của M=\left | 2x+5y \right |$

b, Cho x, y > 0 thoả $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6.Tìm GTNN của P=x+y$

c, Cho $x\epsilon \left [ 0;1 \right ].Tìm GTLN của P=x(1-x)^{3}$

d, Cho $x\epsilon \left [ 0;2 \right ] và y\epsilon \left [ 0;\frac{1}{2} \right ]. Tìm GTLN của Q=(2x-x^{2})(y-2y^{2})$

e, Cho $x\epsilon \left [ 0;3 \right ] và y\epsilon \left [ 0;4 \right ].Tìm GTLN của S=(2-x)(3-2y)(2x+3y)$

 

Chú ý: Không kẹp $$ vào tiếng Việt có dấu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-04-2014 - 19:22

[Hermione Granger]

156, a, Cho x,y thỏa $4x^{2}+3y^{2}=\frac{3}{28}.Tìm GTLN của M=\left | 2x+5y \right |$

 

$156. a$

Áp dụng bdt $Bunhiacopxki$, ta có :

$M^{2}=\left (2x+5y\right )^{2}=\left ( 1.2x+\frac{5}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}y\right )^{2}$

       $ \leq \left (1+\frac{25}{3}  \right )\left ( 4x^{2}+3y^{2} \right ) = 1$

$\Rightarrow M\leq 1$

Dấu''$=$'' xảy ra $\Leftrightarrow $....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:42

[nguyenhongsonk612]

156)

b, Cho x, y > 0 thoả $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6.Tìm GTNN của P=x+y$

$156.b$

Mình làm cách này, không biết có đúng không đây!

Giải:

Ta có:

$6=\frac{2}{x}+\frac{3}{y}= \frac{(\sqrt{2})^2}{x}+\frac{(\sqrt{3})^2}{y}\geq \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{x+y}\Leftrightarrow x+y\geq \frac{5+2\sqrt{6}}{6}$

Vậy min $(x+y)=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}$. Dấu "="$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{x}= \frac{\sqrt{3}}{y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:42

[Oral1020]

156, 

c, Cho $x\epsilon \left [ 0;1 \right ].Tìm GTLN của P=x(1-x)^{3}$

 

 

$156.c$

Mình áp dụng dụng bất đẳng thức Cauchy cho :
$x(1-x)^3=\dfrac{3x(1-x)(1-x)(1-x)}{3} \le \dfrac{27}{256}$
dấu = xảy ra khi $x=\dfrac{1}{4}$

 

Chú ý: Trích đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:42

[canhhoang30011999]

155, cho a,b,c là 3 cạnh một tam giác. CMR

a, $\sum \frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}> 3$

b, nếu $a\leq b\leq c  thì  (a+b+c)^{2}\leq 9bc$

$155.a$

$\frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}-1= \frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{b^{2}+c^{2}}$

$= \frac{(a+b-c)(a-b+c)}{b^{2}+c^{2}}> 0$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:43

[Viet Hoang 99]

155, cho a,b,c là 3 cạnh một tam giác. CMR

 

b, nếu $a\leq b\leq c  thì  (a+b+c)^{2}\leq 9bc$

$155.b$

$(a+b+c)^2 \leq (2b+c)^2$
Xét hiệu:
$(2b+c)^2 - 9bc = 4b^2 - 5bc + c^2 = (b-c)(4b-c) \leq 0$
Dễ thấy $b-c<0$
$c < a+b \geq 2b$
$\Rightarrow 4b-c>0$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:43

[Viet Hoang 99]

Bài 153: 
Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa $a+b+c=3$. Tìm GTLN của: 
$S=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$

Ở đây

 

Bài 152.

 

Cho các số a,b,c dương có tích $abc=1$.
Chứng minh rằng:

$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$

 

152)
$a+b \geq \sqrt[3]{ab}\left( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)= \dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{ \sqrt[3]{c}}$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b+1} \le \dfrac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} }$

[Viet Hoang 99]

Bài 148:
Cho $x,y,z>1$ thỏa $xy+yz+zx+xyz=20$. CM BĐT:
$\frac{3}{x+y+z-3}\geq (x-1)(y-1)(z-1)$
Bài 149:
Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=9$. Tìm GTLN của:
$A=\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+2z}}$
P/s: có lẽ bài 149 đã có trên diễn đàn, nhưng hình như chưa ai giải được thì phải. Mình đăng lên để mọi người cùng thảo luận. Nếu đã có bạn đăng rồi thì thôi!

 

149)
Tham khảo ở đây

[Viet Hoang 99]

156,

d, Cho $x\epsilon \left [ 0;2 \right ] và y\epsilon \left [ 0;\frac{1}{2} \right ]. Tìm GTLN của Q=(2x-x^{2})(y-2y^{2})$


Chú ý: Không kẹp $$ vào tiếng Việt có dấu

d)
$Q=x(2-x)y(1-2y)=2x(2-x)y(\frac{1}{2}-y)\leq 2.\frac{(x+2-x)^2}{4}.\frac{(y+\frac{1}{2}-y)^2}{4}=\frac{1}{8}$

bạn ơi câu 7 từ b1 đến b2 ntn z hình như điều kiện là a>1 mà

Sr bạn ấy viết nhầm, mình đã fix. (Ở bước 2 chuyển $a$ thành số $1$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-04-2014 - 19:20

[Viet Hoang 99]

156, 

e, Cho $x\epsilon \left [ 0;3 \right ] và y\epsilon \left [ 0;4 \right ].Tìm GTLN của S=(2-x)(3-2y)(2x+3y)$

 

156)
e)

$S=(2-x)(3-2y)(2x+3y)=\frac{1}{2}.(4-2x).\frac{2}{3}.(\frac{9}{2}-3y)(2x+3y)\leq \frac{1}{3}(\frac{4-2x+\frac{9}{2}-3y+2x+3y}{3})^3=\frac{4913}{648}$

[Hoang Tung 126]

Bài 153: 
Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa $a+b+c=3$. Tìm GTLN của: 
$S=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$

Bài này chưa ai giải thì xơi vậy...

Gỉa sử $a\geq b\geq c= > b^2-bc+c^2=b^2+c(c-b)\leq b^2,c^2-ac+a^2=a^2+c(c-a)\leq a^2$

$= > S\leq a^2b^2(a^2-ab+b^2)=\frac{4}{9}.\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}(a^2-ab+b^2)\leq \frac{4}{9}.\frac{(\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}+a^2-ab+b^2)^3}{27}=\frac{4(a+b)^6}{9.27}\leq \frac{4(a+b+c)^6}{9.27}=\frac{4.3^6}{9.27}=12= > S\leq 12$

Dấu = xảy ra khi $c=0,a=1,b=2$

 

Bài này em đưa link giải rồi Hì

 

 

Ở đây

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-04-2014 - 19:39

[stupidperson]

 

Ở đây

 

 

152)
$a+b \geq \sqrt[3]{ab}\left( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)= \dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{ \sqrt[3]{c}}$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b+1} \le \dfrac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} }$

 

xong lm ntn nk bạn??

[Hermione Granger]

 

 

152)
$a+b \geq \sqrt[3]{ab}\left( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)= \dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{ \sqrt[3]{c}}$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b+1} \le \dfrac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} }$

 

 

xong lm ntn nk bạn??

 

Tương tự : 

$\frac{1}{b+c+1} \le \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} }$

$\frac{1}{c+a+1} \le \dfrac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} }$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b+1} +\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1$

Ta cần chứng minh $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\geq 1$

Thật vậy, áp dụng bdt $Cauchy$, ta có :

$\frac{1}{2+a}+\frac{2+a}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\frac{1}{2+b}+\frac{2+b}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\frac{1}{2+c}+\frac{2+c}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{2+a}+ \frac{1}{2+b}+ \frac{1}{2+c}\geq 2-\frac{6+a+b+c}{9}$

                                                     $  \geq 2-\frac{6+3\sqrt[3]{abc}}{9}\geq 1$

$\Rightarrow dpcm$

Dấu ''$=$'' xảy ra $\Leftrightarrow  a=b=c=1$

 

p.s: bạn xem có sai chỗ nào không ? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hermione Granger: 27-04-2014 - 17:50

[lahantaithe99]

 

Tương tự : 

$\frac{1}{b+c+1} \le \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} }$

$\frac{1}{c+a+1} \le \dfrac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} }$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b+1} +\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1$

Ta cần chứng minh $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\geq 1$

Thật vậy, áp dụng bdt $Cauchy$, ta có :

$\frac{1}{2+a}+\frac{2+a}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\frac{1}{2+b}+\frac{2+b}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\frac{1}{2+c}+\frac{2+c}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{2+a}+ \frac{1}{2+b}+ \frac{1}{2+c}\geq 2-\frac{6+a+b+c}{9}$

                                                     $  \geq 2-\frac{6+3\sqrt[3]{abc}}{9}\geq 1$

$\Rightarrow dpcm$

Dấu ''$=$'' xảy ra $\Leftrightarrow  a=b=c=1$

 

p.s: bạn xem có sai chỗ nào không ? 

 

Ngược dấu rồi anh ơi

[HoangHungChelski]

 

Tương tự : 

$\frac{1}{b+c+1} \le \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} }$

$\frac{1}{c+a+1} \le \dfrac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} }$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b+1} +\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1$

Ta cần chứng minh $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\geq 1$

Thật vậy, áp dụng bdt $Cauchy$, ta có :

$\frac{1}{2+a}+\frac{2+a}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\frac{1}{2+b}+\frac{2+b}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\frac{1}{2+c}+\frac{2+c}{9}\geq \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{2+a}+ \frac{1}{2+b}+ \frac{1}{2+c}\geq 2-\frac{6+a+b+c}{9}$

                                                     $  \geq 2-\frac{6+3\sqrt[3]{abc}}{9}\geq 1$

$\Rightarrow dpcm$

Dấu ''$=$'' xảy ra $\Leftrightarrow  a=b=c=1$

 

p.s: bạn xem có sai chỗ nào không ? 

 

nhầm dấu! 

[Viet Hoang 99]

 

Bài 152.

 

Cho các số a,b,c dương có tích $abc=1$.
Chứng minh rằng:

$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$

Cách khác đây

152)

Đặt $x = \sqrt{a} ; y = \sqrt{b} ; z = \sqrt{c} $ khi đó phải chứng minh

$$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} + \frac{1}{y^{2} + z^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + z^{2} + 1} \leq 1 $$

Với $xyz = 1$

 

+ Do $\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} = 1 - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} = 1 - \frac{\left(x + y \right)^{2} + \left(x - y \right)^{2}}{2\left(x^{2} + y^{2} + 1\right)} $ 

 

Nên bđt viết lại thành :

$$\sum \frac{\left(x + y \right)^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} + \sum \frac{\left(x - y \right)^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} \geq 4$$

 

+ Không mất tính tổng quát giả sử : $x \geq y\geq z$. Sử dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có : 

$$\sum \frac{\left(x + y \right)^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} \geq \frac{\left[\left(x + y \right) + \left(y + z \right) + \left(x + z \right)\right]^{2}}{\sum \left(x^{2} + y^{2} + 1\right)}$$

$$\sum \frac{\left(x - y \right)^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} \geq \frac{\left[\left(x - y \right) + \left(y - z \right) + \left(x - z \right)\right]^{2}}{\sum \left(x^{2} + y^{2} + 1\right)}$$

 

+ Từ đây ta đưa bài toán về chứng minh 

$$\left(x + y + z \right)^{2} + \left(x - z \right)^{2} \geq 2\left(x^{2}  + y^{2} + z^{2}\right) + 3$$

+ Mặt khác , theo bđt $AM - GM$ ta có : $3 = 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}} \leq xy + yz + xz$

 

do vậy ta chỉ cần chứng minh :

$$\left(x + y + z \right)^{2} + \left(x - z \right)^{2} \geq 2\left(x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) + xy + yz + xz$$

Sau khi thu gọn , ta được bđt hiển nhiên đúng 

$$\left(x - y \right)\left(y - z \right) \geq 0$$

 

 

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 27-04-2014 - 21:32

[lahantaithe99]

 

 

Cách khác đây

152)

Đặt $x = \sqrt{a} ; y = \sqrt{b} ; z = \sqrt{c} $ khi đó phải chứng minh

$$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} + \frac{1}{y^{2} + z^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + z^{2} + 1} \leq 1 $$

 

 

Mình thấy chứng minh bài này dựa vào số trung gian là $1$ thì không được, vì $\sum \frac{1}{a+2}$ không phải luôn $\geqslant 1$

nếu $a=\frac{1}{3};b=3;c=1$

Chưa xem hết bài của Hoàng nhưng mình thấy khá rối và $x=\sqrt{a};y=\sqrt{b};z=\sqrt{c}$ thì suy ra luôn $xyz=1$ tại sao lại xét $xyz\geqslant 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 27-04-2014 - 21:32

[Hermione Granger]

 

 

Cách khác đây

152)

 

$$\left(x - y \right)\left(y - z \right) \geq 0$$

 

 

 

 

 

 

Phần còn lại chứng minh như thế nào bạn ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 27-04-2014 - 21:34