Chủ đề này có 742 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Phần còn lại chứng minh như thế nào bạn ?

$(x-y)(y-z)\geq 0$ là luôn đúng theo giả sử $x\geq y\geq z$ mà bạn

[Hermione Granger]

$(x-y)(y-z)\geq 0$ là luôn đúng theo giả sử $x\geq y\geq z$ mà bạn

Ý mình là phần chứng minh để dẫn đến$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$ ấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hermione Granger: 27-04-2014 - 19:29

[nk0kckungtjnh]

Góp mấy bài toán:     

Bài 157: Cho các số thực $x,y,z$ có $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm $Min$ $S=(xy+2xz+yz)^{2}-\frac{8}{(x+y+z)^{2}-xy-yz+2}$

 

Bài 158: Cho các số thực dương $x,y,z$ có tích bằng $8$. Tìm $Min$ $S=\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{8}{(y+2)^{3}}+\frac{64}{(z+4)^{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 29-04-2014 - 05:26

[nguyenhongsonk612]

Bài 159: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{4z-7y}{x+2y}+\frac{5x-5z}{y+3z}+\frac{3y-11x}{z+4x}\geq -3$

[Viet Hoang 99]

Góp mấy bài toán:     

Bài 157: Cho các số thực $x,y,z$ có $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm $Min$ $S=(xy+2xz+yz)^{2}-\frac{8}{(x+y+z)^{2}-xy-yz+2}$

 

Bài 158: Cho các số thực dương $x,y,z$ có tích bằng $8$. Tìm $Min$ $S=\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{8}{(y+2)^{3}}+\frac{64}{(z+4)^{3}}$

157)
Tham khảo tại đây

[canhhoang30011999]

Bài 159: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{4z-7y}{x+2y}+\frac{5x-5z}{y+3z}+\frac{3y-11x}{z+4x}\geq -3$

bđt $\Leftrightarrow \frac{4x+y+4z}{x+2y}+\frac{5x+2y+zz}{y+3z}+\frac{x+3y+3z}{z+4x}$$\geq 6$

đặt $x+2y=a,y+3z=b,z+4x=c$

bđt trở thành $\sum \frac{b+c}{a}\geq 6$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$(luôn đúng)

p/s:bài thứ 400 của mình

[stupidperson]

Bài 160 : Cho a,b,c > $\frac{-3}{4}$ và $a+b+c=1$ .CMR:
$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

[Hermione Granger]

Bài 160 : Cho a,b,c > $\frac{-3}{4}$ và $a+b+c=1$ .CMR:
$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

Áp dụng bdt $Cauchy$, ta có :

$\sum  \frac{a}{a^{2}+1}=\sum \frac{a}{a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}}\leq  \sum \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}}$

                    $  = \sum \frac{9a}{6a+8}=\frac{9}{2}-\sum \frac{6}{4+3a}\leq \frac{9}{2}-\sum \frac{54}{12+\left ( a+b+c \right )}=\frac{9}{10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hermione Granger: 04-05-2014 - 20:39

[CHU HOANG TRUNG]

1/Cho 3 số a,b,c đôi một khác nhau .CMR 

 $\frac{(a+b)^2}{a-b}+\frac{(b+c)^2}{b-c}+\frac{(c+a)^2}{c-a}\geq 2$

 

 

2/$\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\geq a+b+c$

Với a,b,c>0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 04-05-2014 - 21:43

[Hermione Granger]

 

 

2/$\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\geq a+b+c$

Với a,b,c>0

 

$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}\geq \frac{ab\left ( a+b \right )}{2ab}= \frac{a+b}{2}$

Tương tự$ \frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}\geq \frac{bc\left ( c+b \right )}{2bc}= \frac{b+c}{2}$

                               $..............$

$\Rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hermione Granger: 05-05-2014 - 12:19

[Binh Le]

Bài 160 : Cho a,b,c > $\frac{-3}{4}$ và $a+b+c=1$ .CMR:
$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

Ta đi cm $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{36a+3}{50}\Leftrightarrow (4a+3)(3a-1)^{2}\geq 0$ $(True)$

Thiết lập tương tự rồi cộng theo vế được đpcm

[nguyenhongsonk612]

Bài 163: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm max của:

$P=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)$

Bài 164: Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c+d=1$. Tìm max của:

$P=a(b^2+c^2+d^2)+b(c^2+d^2+a^2)+c(d^2+a^2+b^2)+d(a^2+b^2+c^2)$

[hoctrocuanewton]

1/Cho 3 số a,b,c đôi một khác nhau .CMR 

 $\frac{(a+b)^2}{a-b}+\frac{(b+c)^2}{b-c}+\frac{(c+a)^2}{c-a}\geq 2$

 

Mình nghĩ đề phải là : $\sum \frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}\geqslant 2$

Với đề như trên ta sẽ có cách giải sau :

 

Đặt  $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a+b}{a-b}\\ y=\frac{b+c}{b-c} \\ z=\frac{c+a}{c-a} \end{matrix}\right.$

từ đó ta sẽ có :

$(1-x)(1-y)(1-z)=(1+z)(1+y)(1+x)$

$\Rightarrow xy+yz+xz= -1$

Hiển nhiên ta có bất đẳng thức sau là đúng :

$\sum x^{2} \geqslant -2\sum xy$

$\Rightarrow \sum x^{2}\geqslant 2$

$\Rightarrow \sum \frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}\geqslant 2$

vậy ta được đpcm

[stupidperson]

Ta đi cm $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{36a+3}{50}\Leftrightarrow (4a+3)(3a-1)^{2}\geq 0$ $(True)$

Thiết lập tương tự rồi cộng theo vế được đpcm

Cái nj dùng pp tiếp tuyến há , viết rõ hơn được không

[Binh Le]

Cái nj dùng pp tiếp tuyến há , viết rõ hơn được không

Đặt $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$

PTTT tại $x=\frac{1}{3}$ của $f(x)$ là $y=f'(\frac{1}{3})(x-\frac{1}{3})+f(\frac{1}{3})$ 

Vì đồ thị hàm số trên lồi nên BĐT đúng ,biến đôỉ tương đương rồi cộng theo vế là xong

Bạn nên xem thêm BĐT Jesen để hiểu rõ hơn! Tram!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 07-05-2014 - 12:10

[nk0kckungtjnh]

Đặt $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$

PTTT tại $x=\frac{1}{3}$ của $f(x)$ là $y=f'(\frac{1}{3})(x-\frac{1}{3})+f(\frac{1}{3})$ 

Vì đồ thị hàm số trên lồi nên BĐT đúng ,biến đôỉ tương đương rồi cộng theo vế là xong

Bạn nên xem thêm BĐT Jesen để hiểu rõ hơn! Tram!

 

Cái nj dùng pp tiếp tuyến há , viết rõ hơn được không

Loại đơn giản này bấm máy tính là được bạn à 

 

Shift + ( Nút bên phải nút tìm nghiệm ) $\rightarrow$ gõ hàm vào $\rightarrow$ nháy nút qua $\rightarrow$ bấm điểm rơi. $\rightarrow$ bấm $"="$ 

[nguyenhongsonk612]

Bài 163: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm max của:

$P=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)$

Bài 164: Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c+d=1$. Tìm max của:

$P=a(b^2+c^2+d^2)+b(c^2+d^2+a^2)+c(d^2+a^2+b^2)+d(a^2+b^2+c^2)$

Mình xin đưa ra lời giải cho dạng bài này. Các bạn tham khảo nha!

Giải:

Bài 163:

Ta có:

$P=a(b^2+c^2+a^2)+b(c^2+a^2+b^2)+c(a^2+b^2+c^2)-a^3-b^3-c^3= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-a^3-b^3-c^3= a^2+b^2+C^2-a^3-b^3-c^3=a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c)$

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số, ta có:

$P= a[a.(1-a)]+b[b(1-b)]+c^2(1-c)\leq a[\frac{(a+1-a)^2}{4}]+b[\frac{(b+1-b)^2}{4}]+c^2(1-c)= \frac{1-c}{4}+c^2(1-c)= \frac{1}{4}-c(c-\frac{1}{2})^2\leq \frac{1}{4}$

Vậy Max $P=\frac{1}{4}$. Dấu "=" khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2};c=0$ và các hoán vị.

Ps: Bài 164 làm tương tự

[Near Ryuzaki]

Bài $165$: Cho $a^2+b^2\geq a^3+b^5$

Chứng minh $b-\frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}$

[trungkien102]

166)

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh rằng: $\frac{ab}{ac+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\geq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-05-2014 - 16:55

[canhhoang30011999]

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh rằng: $\frac{ab}{ac+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\geq \frac{3}{4}$

166)
bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{bc+a(a+b+c)}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow 4\sum bc(b+c)\geq 6abc+3\sum bc(b+c)$

$\Leftrightarrow \sum bc(b+c)\geq 6abc$(đúng theo cô-si)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-05-2014 - 16:56