Chủ đề này có 742 trả lời

[killerdark68]

MÌnh nghĩ phải là $\frac{11}{27}$

 

Cm:áp dụng cosi

$VT\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}+2\frac{(a+b+c)^{3}}{27}=\frac{11}{27}$

Dấu = là x=y=z=$\frac{1}{3}$

mình cũng ko biết nữa nhưng đề bài trong tập đề thầy photo cho mình là  $\frac{7}{27}$ cũng có thể đề sai

[hoangmanhquan]

 

Bài 189/ cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=1.CMR $0\leq ab+cb+ca+2abc\leq \frac{7}{27}$

 

 

MÌnh nghĩ phải là $\frac{11}{27}$

 

Cm:áp dụng cosi

$VT\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}+2\frac{(a+b+c)^{3}}{27}=\frac{11}{27}$

Dấu = là x=y=z=$\frac{1}{3}$

Nếu là $\frac{7}{27}$ thì đề bài phải là:

 Cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=1.CMR $0\leq ab+cb+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

[killerdark68]

Nếu là $\frac{7}{27}$ thì đề bài phải là:

 Cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=1.CMR $0\leq ab+cb+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

uh mình viết nhầm sorry nha!

Vậy sửa đề bài 189/:Cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=1.CMR $0\leq ab+cb+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi killerdark68: 12-07-2014 - 08:33

[canhhoang30011999]

Nếu là $\frac{7}{27}$ thì đề bài phải là:

 Cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=1.CMR $0\leq ab+cb+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

ta có

$ \prod (a+b-c)\leq \prod a$

$ \Rightarrow \prod (1-2c)\leq abc$

$ \Rightarrow 1+4(ab+bc+ca)-2(a+b+c)-8abc\leq abc$

$ \Rightarrow 4(ab+bc+ca-2abc)\leq abc+2(a+b+c)-1$$ \leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}+2(a+b+c)-1 =\frac{28}{27}$

$ \Rightarrow ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 12-07-2014 - 08:49

[nguyenhongsonk612]

Bài 192: Chứng minh rằng với các số dương $a,b,c$ có tổng bằng $3$, thì:

$\frac{a(a-2b+c)}{ab+1}+\frac{b(b-2c+a)}{bc+1}+\frac{c(c-2a+b)}{ca+1}\geq 0$

P/s: Thư giãn xem World Cup!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-07-2014 - 22:49

[Viet Hoang 99]

Bài 192: Chứng minh rằng với các số dương $a,b,c$ có tổng bằng $3$, thì:

$\frac{a(a-2b+c)}{ab+1}+\frac{b(b-2c+a)}{bc+1}+\frac{c(c-2a+b)}{ca+1}\geq 0$

P/s: Thư giãn xem World Cup!

 

$192/$

$BDT\Leftrightarrow \sum \frac{a(3-3b)}{ab+1}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a(1-b)}{ab+1}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{ab+1}\geq \sum \frac{ab}{ab+1}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{ab+1}\geq 3-\sum \frac{1}{ab+1}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a+1}{ab+1}\geq 3$

Có: $\sum \frac{a+1}{ab+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\prod (a+1)}{\prod (ab+1)}}$

Ta cần CM: $\prod (a+1)\geq \prod (ab+1)$

$\Leftrightarrow (abc)^2+2abc\leq 3$

$\Leftrightarrow abc\leq 1$

(Luôn đúng do $abc\leq \left (\frac{a+b+c}{3}  \right )^3=1$)

 

 

Bài này quyết định số phận em lên ĐẠI ÚY

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-07-2014 - 23:07

[mnguyen99]

 

 

$192/$

$BDT\Leftrightarrow \sum \frac{a(3-3b)}{ab+1}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a(1-b)}{ab+1}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{ab+1}\geq \sum \frac{ab}{ab+1}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{ab+1}\geq 3-\sum \frac{1}{ab+1}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a+1}{ab+1}\geq 3$

Có: $\sum \frac{a+1}{ab+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\prod (a+1)}{\prod (ab+1)}}$

Ta cần CM: $\prod (a+1)\geq \prod (ab+1)$

$\Leftrightarrow (abc)^2+2abc\leq 3$

$\Leftrightarrow abc\leq 1$

(Luôn đúng do $abc\leq \left (\frac{a+b+c}{3}  \right )^3=1$)

 

 

Bài này quyết định số phận em lên ĐẠI ÚY

 

đoạn này biến đổi ntn?

[einstein627]

đoạn này biến đổi ntn?

Nhân tung dòng thứ 2 ra rồi chuyển vế thôi bạn ạ

[killerdark68]

193/cho a,c,b >0 cmr $\sum \frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+c^3)}}\leq 1$

[Viet Hoang 99]

Chùm bài tập chứng minh BĐT chứa biến ở mẫu

$194)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{2a^3}{a^6+bc}\leq \sum \frac{a}{bc}$

$195)$ Cho $x;y;z>0$; $x+2y+3z=18$. Cmr: $\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\geq \frac{51}{7}$

$196)$ Cho $a;b>0$. Tìm Min $P=\frac{a+b}{\sqrt{a(4a+5b)}+\sqrt{b(4b+5a)}}$

$197)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=2$. Cmr: $\sum \frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}\leq 1$

$198)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $1+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq \frac{6}{a+b+c}$

$199)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm Min $M=\sum \frac{a^5}{b^3+c^2}+\sum a^4$

$200)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $ab+bc+ca=3$. Cmr: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

$201)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}\geq 3\sum ab-2$

$202)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc\geq 1$. Cmr: $\prod \left ( a+\frac{1}{a+1} \right )\geq \frac{27}{8}$

$203)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{a^2+bc}{b+c}\geq \sum a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-08-2014 - 18:01

[canhhoang30011999]

 

$197)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=2$. Cmr: $\sum \frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}\leq 1$

 

ta có VT=$ \sum \frac{ab}{\sqrt{(a+b+c)c+ab}}=\sum \frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\leq\sum \frac{\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}=\frac{a+b+c}{2}=1$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 05-08-2014 - 14:26

[canhhoang30011999]

 

Chùm bài tập chứng minh BĐT chứa biến ở mẫu

$196)$ Cho $a;b>0$. Tìm Min $P=\frac{a+b}{\sqrt{a(4a+5b)}+\sqrt{b(4b+5a)}}$

 

ta có $P=\frac{3(a+b)}{\sqrt{9a(4a+5b)}+\sqrt{9b(4b+5a)}} $

$\geq \frac{3(a+b)}{\frac{9a+4a+5b+9b+4b+5a}{2}}=\frac{1}{3}$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 05-08-2014 - 14:35

[CHU HOANG TRUNG]

 

Chùm bài tập chứng minh BĐT chứa biến ở mẫu

 

$195)$ Cho $x;y;z>0$; $x+2y+3z=18$. Cmr: $\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\geq \frac{51}{7}$

 

$\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}=\frac{2y+3z+5}{1+x}+1+\frac{3z+x+5}{1+2y}+1+\frac{x+2y+5}{1+3z}+1-3=[x+2y+3z+6][\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+3z}]-3\geq 24[\frac{9}{x+2y+3z+3}]-3=24.\frac{9}{21}=\frac{51}{7}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=6; y=3;z=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 05-08-2014 - 15:56

[Viet Hoang 99]

193/cho a,c,b >0 cmr $\sum \frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+c^3)}}\leq 1$

BĐT sai khi $a=b=c=1$

[killerdark68]

BĐT sai khi $a=b=c=1$

đề sai sửa lại : cho a,b,c>0 cmr $\sum \frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+b^3)^2}}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi killerdark68: 06-08-2014 - 12:48

[lehoangphuc1820]

 

Chùm bài tập chứng minh BĐT chứa biến ở mẫu

 

$200)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $ab+bc+ca=3$. Cmr: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

 

Từ gt $ab+ac+bc=3\Rightarrow abc\leq 1$

Ta có: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}=\sum \frac{1}{1+a(ab+ac)}=\sum \frac{1}{1+a(3-bc)} = \sum \frac{1}{1+3a-abc}\leq \sum \frac{1}{3a}$ (vì $-abc\geq -1$)

Do đó $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \sum \frac{1}{3a}=\frac{ab+ac+bc}{3abc}=\frac{1}{abc} (dpcm))$

Dấu bằng khi $a=b=c=1$

[hoctrocuanewton]

 

Chùm bài tập chứng minh BĐT chứa biến ở mẫu

$194)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{2a^3}{a^6+bc}\leq \sum \frac{a}{bc}$

$201)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}\geq 3\sum ab-2$

 

 

194,

Ta có : $\sum \frac{2a^{3}}{a^{6}+bc}\leqslant \sum \frac{2a^{3}}{2a^{3}\sqrt{bc}}= \sum \frac{1}{\sqrt{bc}}(1)$

 

Áp dụng BĐT cô si ta có : 

 

$(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca})+(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab})\geqslant 2(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})\geqslant \frac{4}{\sqrt{ac}}$

 

Chứng minh tương tự ta sẽ được : 

$4\sum \frac{a}{bc}\geqslant\sum \frac{4}{\sqrt{ab}}\Rightarrow \sum \frac{a}{bc}\geqslant \sum \frac{1}{\sqrt{bc}}(2)$

 

Từ (1) và (2) ta được đpcm

 

201, 

Áp dụng BĐT cô si ta có : 

 

$\sum \frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)}+2= \sum \frac{(a^{3}+b^{3})(a^{2}+b^{2})-a^{2}b^{2}(a+b)}{ab(a+b)}+2\geqslant \sum \frac{ab(a+b)(a^{2}+b^{2})-a^{2}b^{2}(a+b)}{ab(a+b)}+2= \sum (a^{2}+b^{2})+2-ab= 4\sum a^{2}-\sum ab\geqslant 3\sum ab$

 

Vậy ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 05-08-2014 - 21:19

[A09]

204.tìm Max:

$3.\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}$ với $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi A09: 07-08-2014 - 14:10

[canhhoang30011999]

tìm Max:$3.\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}$ với $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$

ta có $3.\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}$ $\leq 3\frac{2x-1+1}{2}+\frac{x^{2}+5-4x^{2}}{2}$

$=\frac{6x+5-3x^{2}}{2}=\frac{-3(x-1)^{2}}{2}+4 \leq 4$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 07-08-2014 - 09:53

[nguyenhongsonk612]

Bài $205/$

Nếu $a,b,c$ và $x,y,z$ là các số thực thì $4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$

[hide] Lâu lắm rồi mới post bài vào trong topic này  [\hide]

P/s: Sao tớ ấn lệnh hide rồi mà không nhìn thấy nó ẩn nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 07-08-2014 - 19:20