Chủ đề này có 742 trả lời

[nguyenhongsonk612]

 

$198)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $1+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq \frac{6}{a+b+c}$

Giải

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$1+\frac{3}{ab+bc+ca}=1+\frac{3}{\frac{(a+b+c)^2}{2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}\geq 1+\frac{3}{\frac{(a+b+c)^2}{2}-\frac{(a+b+c)^2}{6}}=1+\frac{9}{(a+b+c)^2}$

Đặt $a+b+c=t(t>0)$ thì ta cần chứng minh

$1+\frac{9}{t^2}\geq \frac{6}{t}\Leftrightarrow \frac{(t-3)^2}{t^2}\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy BĐT đươc chứng minh

Dấu "=" $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 07-08-2014 - 10:43

[canhhoang30011999]

 

$198)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $1+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq \frac{6}{a+b+c}$

 

 

c2 ta có $Vt \geq 2\sqrt{\frac{3}{ab+bc+ca}}$

ta cần cm

$2\sqrt{\frac{3}{ab+bc+ca}} \geq \frac{6}{a+b+c}$

$<=> \frac{3}{ab+bc+ca} \geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$

$<=> (a+b+c)^{2} \geq 3(ab+bc+ca)$ (luôn đúng)

[nguyenhongsonk612]

 

$203)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{a^2+bc}{b+c}\geq \sum a$

Giải

Ta có $\frac{a^2+bc}{b+c}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}-a$. 

Tương tự $\frac{b^2+ca}{c+a}=\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}-b$; $\frac{c^2+ab}{a+b}=\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}-c$

Như vậy ta cần chứng minh

$\frac{(a+b)(c+a)}{b+c}+\frac{(a+b)(b+c)}{c+a}+\frac{(b+c)(c+a)}{a+b}\geq 2(a+b+c)$ $(1)$

Đặt $a+b=x;b+c=y;c+a=z$

BĐT $(1)$ $\Leftrightarrow \frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\geq x+y+z$

BĐT này luôn đúng vì theo $AM-GM$ ta có

$\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \frac{xz}{y}+\frac{xy}{z} \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x} \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \frac{yz}{x}+\frac{xz}{y} \end{pmatrix}\geq x+y+z$ (đpcm)

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c>0$

[Viet Hoang 99]

Bài $205/$

Nếu $a,b,c$ và $x,y,z$ là các số thực thì $4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$

[hide] Lâu lắm rồi mới post bài vào trong topic này  [\hide]

 

Áp dụng Bunhia
$$3[(a(bz+cy)+xbc]^2\le 3(a^2+x^2)[(bz+cy)^2+b^2c^2]$$
Cần CM:
$$3[(bz+cy)^2+b^2c^2]\leq 4(b^2+y^2)(c^2+z^2)$$
$$\Leftrightarrow b^2c^2+b^2z^2+c^2y^2+4y^2z^2\ge 6bcyz$$
Áp dụng AM-GM có:
$b^2c^2+4y^2z^2\ge 4bcyz$
$b^2z^2+c^2y^2\ge 2bcyz$
Cộng lại ta có đpcm.

Nhớ tô đỏ bài $205$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-08-2014 - 11:55

[Tran Nguyen Lan 1107]

 

Chùm bài tập chứng minh BĐT chứa biến ở mẫu

 

$199)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm Min $M=\sum \frac{a^5}{b^3+c^2}+\sum a^4$

 

Áp dụng bdt Cauchy ta có

$\frac{a^{5}}{b^{3}+c^{2}}+(\frac{b^{3}+c^{2}}{4})+\frac{a}{2}\geq \frac{3}{2}a^{2}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có

$\sum \frac{a^{5}}{b^{3}+c^{2}}+\frac{\sum a^{3}+\sum a^{2}}{4}+\frac{\sum a}{2}\geq \frac{9}{2}$

Mà ta có $a^{4}+a^{2}\geq 2a^{3},6a^{4}+6\geq 12a^{2},a^{4}+3\geq 4a$

Tương tự cho b,c

Cộng các bdt trên ta có

$8\sum (a^{4})+27\geq 2\sum a^{3}+11\sum a^{2}+4\sum a<=>8\sum a^{4}\geq \sum 2a^{3}+\sum 2a^{2}+4\sum a$ 

<=>$\sum a^{4}\geq \frac{\sum a^{3}+\sum a^{2}}{4}+\frac{\sum a}{2}$

=> $M\geq \sum \frac{a^{5}}{b^{3}+c^{2}}+\frac{\sum a^{3}+\sum a^{2}}{4}+\frac{\sum a}{2}\geq \frac{9}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Nguyen Lan 1107: 07-08-2014 - 15:49

[A09]

206) tìm max: $\sqrt{2x^2+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x (x\geq \frac{-1}{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi A09: 12-08-2014 - 07:47

[Viet Hoang 99]

206) tìm max: $\sqrt{2x^2+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x (x\geq \frac{-1}{2})$

$\sqrt{2x^2+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x=\sqrt{(x+2)(2x+1)}+\sqrt{4(x+3)}-2x\leq \frac{x+2+2x+1}{2}+\frac{x+3+4}{2}-2x=5$
Dấu $"="$ có khi: $x=1$

[Viet Hoang 99]

193) đề sai sửa lại : cho a,b,c>0 cmr $\sum \frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+b^3)^2}}\leq 1$

$193)$

Áp dụng Holder và C-S

$\sum_{cyc} \frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+c^3)^2}}\leq\sum_{cyc} \frac{a^4}{2a^4+b^2c^2}=$

$=\sum_{cyc}\left( \frac{a^4}{2a^4+b^2c^2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{b^2c^2}{a^4+b^2c^2}+\frac{3}{2}=$

$=-\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{b^4c^4}{2a^4b^2c^2+b^4c^4}+\frac{3}{2}\leq-\frac{(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)^2}{2\sum\limits_{cyc}(2a^4b^2c^2+b^4c^4)}+\frac{3}{2}=$

$=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1$.

 

Yêu cầu sửa lại đề bài 193 ở phần trên, rồi tô đỏ cả 2 bài! (Nếu hết thời gian sửa bài ở trên rồi thì thôi vậy)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 11-08-2014 - 18:10

[killerdark68]

193/cho a,c,b >0 cmr $\sum \frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+c^3)}}\leq 1$

[Nguyen Phuong Vy]

Tìm GTNN của biểu thức
A=$\sqrt{x^2-2x+1}+$\sqrt{x^2-6x+9}

[Viet Hoang 99]

207)

Tìm GTNN của biểu thức
$A=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}$

Bạn ấy vào nút sửa bài và

- đánh số thứ tự là bài 207

- Kẹp $ vào trước chữ "A" và sau dấu "9}"

(như mình đã sửa ở phần trích dẫn)

- Tô đỏ toàn bộ bài viết

207)

$A=|x-1|+|x-3|=|x-1|+|3-x|\geq |x-1+3-x|=2$
Dấu "=" xảy ra khi: $(x-1)(x-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow x\geq 3$ v $x\leq 1$

 

P/s: Bạn chưa đọc kĩ các bất đẳng thức mình đăng ở đầu chuyên đề à?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 15-09-2014 - 13:11

[Lam Ba Thinh]

202) Ta có: $\prod \left ( a+\frac{1}{a+1} \right )=\prod \left ( \frac{a^{2}}{a+1}+1 \right )=\prod \left (\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{a+1}{4}-\frac{a}{4}+\frac{3}{4} \right )\geq \prod \left( a - \frac{a}{4}+\frac{3}{4}\right )=\frac{27}{64}\prod \left (a+1 \right )\geq \frac{27}{64}\cdot 8\prod \left (\sqrt{a} \right )\geq \frac{27}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 24-08-2014 - 12:17

[Viet Hoang 99]

Lâu rồi không vào TOPIC, (mình mới fix lại bài đầu tiên của TOPIC #1)

 

Bắt đầu các bài Min;Max (của lớp 10, nói thế nhưng THCS vẫn làm được, chỉ là lớp 10 dùng bảng biến thiên nhanh hơn...)

<Bài tập tương đối dễ>

$208)$ Tìm miền giá trị của các hàm số sau. Từ đó chỉ ra $min;max$

• $1)$ $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$
• $2)$ $y=\frac{x}{x^2+x+1}$
• $3)$ $y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$
• $4)$ $y=\frac{x^2-2x+2}{x^2+2x+2}$
• $5)$ $y=\left|\frac{2x^2+x-1}{x^2-x+1}\right|$

$209)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+xy+y^2=1$. Tìm $min;max$ (nếu có)

$$A=x^2+xy-2y^2$$
$210)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+y^2\geq 1-xy$. Tìm $min$

$$A=x^2+y^2$$

$211)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+xy+3y^2=5$. Tìm $min;max$

$$A=(x-y)^2-2x^2y^2$$

$212)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2=5x^2+2y^2-2$. Tìm $min;max$
$$A=x^2+y^2$$

$213)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+2xy+3y^2+4=5(x+y)$. Tìm $min;max$
$$A=x+y$$

$214)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $5x^2+5y^2-5x-15y+8=0$. Tìm $min$

$$A=x+3y$$

$215)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $36x^2=9-16y^2$. Tìm $min;max$

$$A=y-2x+5$$

$216)$ Tìm miền giá trị của hàm số. Từ đó chỉ ra $min;max$ (nếu có)

• $1)$ $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$
• $2)$ $y=x^2(1-x)$ với $x\in \left [ 0;1 \right ]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 21-09-2014 - 16:34

[chieckhantiennu]

 

$208)$ Tìm miền giá trị của các hàm số sau. Từ đó chỉ ra $min;max$

• $1)$ $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$
• $2)$ $y=\frac{x}{x^2+x+1}$
• $3)$ $y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$
• $4)$ $y=\frac{x^2-2x+2}{x^2+2x+2}$
• $5)$ $y=\left|\frac{2x^2+x-1}{x^2-x+1}\right|$

 

1. $y=-1+\frac{2x^2}{x^2+1} \geq -1$. Tìm được $min_y=-1 \leftrightarrow x=0$

2.(2) $\leftrightarrow yx^2+x(y-1)+y=0$

Nếu: $y=0$ thì $x=0$

Nếu: $y \neq 0$ thì xét:

$\Delta =(y-1)^2-4y^2=-3y^2-2y+1 \geq 0$

$\Rightarrow -1 \leq y \leq \frac{1}{3}$

...
3.$y=1-\frac{2x}{x^2+x+1}=1-\frac{2}{(x+\frac{1}{x})+1}\geq 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 16-09-2014 - 19:40

[Lam Ba Thinh]

210)

$x^{2}+y^{2}\geq 1-xy\geq 1-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\Leftrightarrow \frac{3}{2}\cdot (x^{2}+y^{2})\geq 1\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{2}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lam Ba Thinh: 16-09-2014 - 22:35

[nguyenhongsonk612]

 

 

$216)$ Tìm miền giá trị của hàm số. Từ đó chỉ ra $min;max$ (nếu có)

• $1)$ $y=\sqrt{x-2}+\sq
• rt{4-x}$
• $2)$ $y=x^2(1-x)$ với $x\in \left [ 0;1 \right ]$

 

$1)$ TXĐ $2\leq x\leq 4$. Bình phương 2 vế ta được

$0\leq y^2=2+2\sqrt{(x-2)(4-x)}\leq 2+x-2+4-x=4$$\Rightarrow 0\leq y\leq 4$

Từ đó suy ra 

$\textrm{min y}=0\Leftrightarrow 2\leq x\leq 4$

$\textrm{max y}=2\Leftrightarrow x=3$

$2)$ Áp dụng BĐT $\textrm{AM-GM}$, ta có

$\textrm{y}=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}(1-x)\leq 4.\frac{\begin{pmatrix} \frac{x}{2}+\frac{x}{2}+1-x \end{pmatrix}^3}{27}=\frac{4}{27}$

$\Rightarrow \textrm{max y}=\frac{4}{27}\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}$

Còn $\textrm{min y}=0$ $\Leftrightarrow x=0$ $\textrm{hoặc}$ $x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 17-09-2014 - 00:16

[hoctrocuaZel]

$209)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+xy+y^2=1$. Tìm $min;max$: $A=x^2-2xy+2y^2$  (nếu có)

209/ Xét $xy=0$

Với xy khác 0.

$A=\frac{x^2+xy-2y^2}{x^2+xy+y^2}=\frac{1+\frac{y}{x}-2\frac{y^2}{x^2}}{1+\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}}=\frac{1+t-2t^2}{t^2+t+1}$

Tới đây tìm miền giá trị.

P/s: Đây là đề thi chuyên/ kg chuyên Thái Bình năm nào đó

[Viet Hoang 99]

 

 

$212)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2=5x^2+2y^2-2$. Tìm $min;max$
$$A=x^2+y^2$$

$213)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+2xy+3y^2+4=5(x+y)$. Tìm $min;max$
$$A=x+y$$

$214)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $5x^2+5y^2-5x-15y+8=0$. Tìm $min$

$$A=x+3y$$

$215)$ Cho $x;y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $36x^2=9-16y^2$. Tìm $min;max$

$$A=y-2x+5$$

 

Hướng dẫn:

$212)$

$GT\Rightarrow (x^2+y^2)^2-4(x^2+y^2)+3=-x^2\le 0$

$\Rightarrow A^2-4A+3\le 0$

$213)$

$GT\Rightarrow (x+y)^2-5(x+y)+4=-2y^2\le 0$

$\Rightarrow A^2-5A+4\le 0$

$214)$

Ta có: $x=A-3y$

Thay vào giả thiết tính $\Delta $

$215)$

Áp dụng Bunhia

$(y-2x)^2=\left(\frac{1}{4}.3y-\frac{1}{3}.6x\right)^2\le \left ( \frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2} \right )\left ( 36x^2+9y^2 \right )=...$

$\Rightarrow ...\le u\le ...$

[hoanglong2k]

Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c=12. CMR:

$\sqrt{3a+2\sqrt{a}+1}+\sqrt{3b+2\sqrt{b}+1}+\sqrt{3c+2\sqrt{c}+1} \geqslant 3\sqrt{17}$

[nguyenhongsonk612]

Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c=12. CMR:

$P=\sqrt{3a+2\sqrt{a}+1}+\sqrt{3b+2\sqrt{b}+1}+\sqrt{3c+2\sqrt{c}+1} \geqslant 3\sqrt{17}$

Theo mình thì phải là C/m nó $\leq 3\sqrt{17}$ mới đúng

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$P^2\leq 3\begin{bmatrix} 3(a+b+c)+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3 \end{bmatrix}\leq 3\begin{bmatrix} 39+2\sqrt{3(a+b+c)} \end{bmatrix}=153$

$\Rightarrow P\leq 3\sqrt{17}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=4$