Đến nội dung

Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 742 trả lời

#21
Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết

Đã chuyển về BOX THCS thì chém cũng nhẹ thôi..

Nếu đã sử dụng $\sum$ thì cũng giải thích vài nét chứ !

------------------------------------------------------

P/s: 

Spoiler

 


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#22
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 

7) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Tìm $Max A=a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}$

8) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=12 & & \end{matrix}\right.$. Tìm $Max S=a\sqrt[3]{b^{2}+c^{2}}+b\sqrt[3]{c^{2}+a^{2}}+c\sqrt[3]{a^{2}+b^{2}}$

 

7) 

$A=\sum a\sqrt[3]{1+b-c}\Leftrightarrow A=\sum a\sqrt[3]{a+2b}=\sum a\sqrt[3]{(a+2b).1.1}\leq \sum a.\frac{a+2b+2}{3}=\frac{(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)}{3}=1$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$

8)

$S=\sum a\sqrt[3]{b^{2}+c^{2}}=\sum \sqrt[3]{a^{3}(b^{2}+c^{2})}=\sum \sqrt[6]{(a^{2})^{3}.(b^{2}+c^{2})^{2}}=\sum \sqrt[6]{(2a^{2})^{3}.(b^{2}+c^{2})^{2}.8}.\sqrt[6]{\frac{1}{64}}\leq \sum \frac{2a^{2}.3+(b^{2}+c^{2}.2+8)}{6}.\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=\sum \frac{6a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+8}{6}.\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=\frac{10(a^{2}+b^{2}+c^{2})+24}{6}=\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=12$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=2$

 

 

Đã chuyển về BOX THCS thì chém cũng nhẹ thôi..

Nếu đã sử dụng $\sum$ thì cũng giải thích vài nét chứ !

------------------------------------------------------

P/s: 

Spoiler

Cái $\sum$: sigma (xích ma) các bạn tự tra google nha.
Có 2 loại $\sum$ nhưng mình dùng chủ yếu loại $\sum_{cyc}$ (mọi người trên diễn đàn viết tắt luốn $\sum$) tức là hoán vị.
Đọc qua topic chắc các bạn đã hiểu về $\sum$.
Ví dụ :D :
Đề bài cho các số a;b;c thì $\sum a=\sum b=\sum c=a+b+c$
(nhưng người ta dùng $\sum a$ chứ chẳng ai dùng $\sum b$; $\sum c$) :D

Đề bài cho các số a;b;c;d thì $\sum a=\sum b=\sum c=\sum d=a+b+c+d$

$\sum \frac{1}{a}=...=\sum \frac{1}{d}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$

$\sum ab=...=\sum da=ab+bc+ca+da$.
Nó chỉ là hoán vị kiểu vậy thôi.
 



#23
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

2) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:

Bài tập:

<tiếp theo>

 

 

9) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\geq 0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$ ( Viết tắt : $\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$)

10) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{3}{2}$ (Viết tắt : $\sum \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}\leq \frac{3}{2}$)

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:
1) Cmr: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq a+b+c\forall a;b;c>0$ (Viết tắt : $\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sum a\forall a;b;c>0$)

Giải:

$\frac{a^{2}}{b}+b\geq 2a$

cmtt:...

$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq 2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c$

2) Cmr: 
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum a\forall a;b;c>0$

3) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}\forall a;b;c>0$

4) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{bc}\geq \sum a\forall a;b;c>0$

5) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum ab\forall a;b;c>0$

6) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum a^{2}\forall a;b;c>0$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 14:08


#24
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

 

3) Nguyên lí đồng bậc trong bất đẳng thức Cauchy:
1) Cmr: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq a+b+c\forall a;b;c>0$ (Viết tắt : $\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sum a\forall a;b;c>0$)

Giải:

$\frac{a^{2}}{b}+b\geq 2a$

cmtt:...

$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq 2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=c$

2) Cmr: 
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum a\forall a;b;c>0$

3) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}\forall a;b;c>0$

4) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{bc}\geq \sum a\forall a;b;c>0$

5) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum ab\forall a;b;c>0$

6) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum a^{2}\forall a;b;c>0$

 

 

2) 

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+b+b\geq 3a$ (Cauchy)
cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}}+2(a+b+c)\geq 3a\Leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum a$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c$

 

3) 

Cách 1:

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+a\geq 2.\frac{a^{2}}{b}$ (Cauchy)
cmtt....

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}+a+b+c\geq 2.\sum \frac{a^{2}}{b}$

Mà $\sum a \leq \sum \frac{a^{2}}{b}$ (Đã CM ở bài 1)

Trừ 2 vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều trên ta có:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}$

 

Cách 2:

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau bằng cách biến đổi tương đương: 

$x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\forall x;y>0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^{2}\geq 0$ đúng với mọi $x;y>0$

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+b=\frac{a^{3}+b^{3}}{b^{2}}\geq \frac{ab(a+b)}{b^{2}}=\frac{a^{2}}{b}+a$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}$

 

4)

$\frac{a^{3}}{bc}+b+c\geq 3a$ (Cauchy)
cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{bc}\geq \sum a$

 

5)

$\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2}$ (Cauchy)

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}+\sum ab\geq 2\sum a^{2}$

Mà $\sum a^{2}\geq \sum ab$ (BĐT này chứng minh bằng cách nhân 2 rồi biến đổi tương đương)
$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}+\sum ab\geq 2\sum ab\Leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum ab$

 

6)

$\frac{a^{5}}{b^{3}}+ab+b^{2}\geq 3a^{2}$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^{5}}{b^{3}}+\sum ab\geq 2a^{2}$

Mà $\sum ab\leq \sum a^{2}$

Trừ 2 BĐT ngược chiều ta có:
$\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum a^{2}$

 

 



#25
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

7) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{4}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$

8) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$
9) Cmr: $\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq \sum \frac{1}{a^{3}}\forall a;b;c>0$

10) Cmr: $\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}\forall a;b;c>0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 14:09


#26
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

7) Cmr: $\sum \frac{a^{5}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{4}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$

 

 

Chỉ dùng Cauchy:

 

$2\frac{a^5}{b^3}+a^2=\frac{a^5}{b^3}+\frac{a^5}{b^3}+a^2 \geq 3\frac{a^4}{b^2} \Rightarrow 2\sum \frac{a^5}{b^3}+\sum a^2 \geq 3\sum \frac{a^4}{b^2}$

 

Mà $\frac{a^4}{b^2}+b^2 \geq 2a^2$ $\Rightarrow \sum \frac{a^4}{b^2} \geq \sum a^2$

 

Từ hai BĐT trên $\Rightarrow \sum \frac{a^5}{b^3} \geq \sum \frac{a^4}{b^2}.$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 22:11


#27
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

8) Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b^{3}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\forall a;b;c>0$

 

 

$a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2 \Rightarrow \frac{a^3}{b^3}+1 \geq \frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}$
 
$ \Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^3} + 3 \geq \sum \frac{a^2}{b^2}+ \sum \frac{a}{b}$
 
Mà $ \sum \frac{a}{b} \geq 3$ nên ta có $ \sum \frac{a^3}{b^3} \geq \sum \frac{a^2}{b^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 21:43


#28
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Chỉ dùng Cauchy:

 

$\frac{a^5}{b^3}+\frac{a^5}{b^3}+a^2 \geq 3\frac{a^4}{b^2}$ $\Rightarrow 2\sum \frac{a^5}{b^3}+\sum a^2 \geq 3\sum \frac{a^4}{b^2}$

 

Mà $\frac{a^4}{b^2}+b^2 \geq 2a^2$ $\Rightarrow \sum \frac{a^4}{b^2} \geq \sum a^2$

 

Từ hai BĐT trên $\Rightarrow \sum \frac{a^5}{b^3} \geq \sum \frac{a^4}{b^2}.$

 

 

Làm rõ hơn chút, chỗ đó là cauchy 3 số.

 

 

 

$a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2 \Rightarrow \frac{a^3}{b^3}+1 \geq \frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}$
 
$ \Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^3} + 3 \geq \sum \frac{a^2}{b^2}+ \sum \frac{a}{b}$
 
Mà $ \sum \frac{a}{b} \geq 3$ nên ta có $ \sum \frac{a^3}{b^3} \geq \sum \frac{a^2}{b^2}$

 

Bước cuối tắt.



#29
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

Làm rõ hơn chút, chỗ đó là cauchy 3 số.

 

 

 

Đã chỉnh.

 


 

Bước cuối tắt.

 

 

Cauchy cho 3 số $\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}$ thì mình nghĩ không cần viết dài thêm???

 

 

 

 

 



#30
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

10) Cmr: $\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}\forall a;b;c>0$

 

$a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2=ab(a+b)$

 

$\Rightarrow a^3+b^3+abc \geq ab(a+b+c) \Rightarrow \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \frac{1}{ab(a+b+c)}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)} = \frac{1}{abc}$ (đưa $\frac{1}{a+b+c}$ ra ngoài rồi quy đồng mẫu các phân thức bên trong lên)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 22:29


#31
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 

9) Cmr: $\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq \sum \frac{1}{a^{3}}\forall a;b;c>0$

 

9)
Áp dụng Cauchy 5 số:
$\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{a^{2}}{b^{5}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{a^{3}}\geq 5.\frac{1}{b^{3}}$

cmtt...

$\Rightarrow 3\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}+2\sum \frac{1}{a^{3}}\geq \sum 5.\frac{1}{a^{3}}\Leftrightarrow 3\sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq 3\sum \frac{1}{a^{3}}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b^{5}}\geq \sum \frac{1}{a^{3}}$



#32
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

12) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b(2c+a)}\geq 1$

 

13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$

 

14) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}$

 

15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$

 

16) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 14:06


#33
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

 

14) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}$

 

$\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}= \sum \frac{a }{ \sqrt{ a^{2}+ab+bc+ac}}= \sum \frac{ a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}$

áp dụng bđt cô si ta có

$\sum \frac{ a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}\leq\sum \frac{1}{2}(\frac{ a}{ a+b}+\frac{ a}{ a+c})= \frac{3}{2}$

vậy ta được đpcm



#34
hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết

13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$

$\sum \frac{a^3}{(b+2c)}=\sum \frac{a^4}{ab+2ac}\geq \sum \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 07-02-2014 - 22:44

:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#35
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$

 

 

$\sum \frac{a^3}{(b+2c)}=\sum \frac{a^4}{ab+2ac}\geq \sum \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Cách 2:

$\frac{a^3}{b+2c}+\frac{a(b+2c)}{9}\geq 2\sqrt{\frac{a^4}{9}}=\frac{2}{3}.a^2$

cmtt...

$\sum \frac{a^3}{b(2c+a)}+\frac{ab+bc+ca}{3}\geq \frac{2}{3}\sum a^2$

Mà $\frac{1}{3}\sum ab\leq \frac{1}{3}\sum a^2$

Trừ theo vế 2 bất đẳng thức ngược chiều ta được:
$\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}\sum a^2=\frac{1}{3}$



#36
hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết

15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$

TT bài 13:

$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$

Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 07-02-2014 - 22:57

:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#37
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
 

12) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b(2c+a)}\geq 1$

 

 

$\frac{9a^3}{b(2c+a)}+3b+(2c+a) \geq 9a \Rightarrow \sum \frac{9a^3}{b(2c+a)}+\sum 3a+\sum 2c+a \geq \sum 9a.$

 

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b(2c+a)} \geq \frac{a+b+c}{3}=1.$

 

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 22:57


#38
hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết

TT bài 13:

$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$

Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Mi=ọi người xem bài này có chỗ không hợp lí mà không ai phản biện à?


:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#39
Phuong Mark

Phuong Mark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

12) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{b(2c+a)}\geq 1$

 

13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$

 

14) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\leq \frac{3}{2}$

 

15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$

 

16) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4}$

bài 13:

$\sum \frac{a^{4}}{a(b+2c)}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)^{2}}\geq \frac{1}{3}$

Áp dụng BĐT:$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}\left ( a+b+c \right )^{2}$ và BĐT bunhiacopxki


Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !

 

 

 


#40
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 


11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

 

11) Áp dụng Cauchy 3 số:
$\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq 3.\frac{a}{4}$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b+c}{2}\geq 3.\frac{a+b+c}{4}\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{3}{4}$

_________________________________



 

15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$

 

 

TT bài 13:

$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$

Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài này bị ngược dấu!!!

Mình xin làm bài 15.

$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{ab+bc+ca}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b}+\sum \frac{a}{a+c}\geq \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{b}+1)+\sum \frac{a}{a+c}\geq \frac{15}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{c+a}{4a}+\sum \frac{a}{a+c}+\frac{3}{4}\sum \frac{a+b}{b}\geq \frac{15}{2}$(*)

Áp dụng Cauchy: $\Leftrightarrow \frac{c+a}{4a}+\frac{a}{a+c}\geq 1\Rightarrow \sum \frac{c+a}{4a}+\sum \frac{a}{a+c}\geq 3\Rightarrow \sum \frac{c+a}{4a}+\sum \frac{a}{a+c}+\frac{3}{4}\sum \frac{a+b}{b}\geq 3+\frac{3}{4}\sum \frac{a+b}{b}=3+\frac{3}{4}(3+\sum \frac{a}{b})\geq 3+\frac{3}{4}(3+3)=3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

Vậy (*) được CM.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-02-2014 - 23:57





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh