Đến nội dung

Hình ảnh

$\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 742 trả lời

#41
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

16) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4}$

 


 

$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{9}{4}a \geq 3\frac{a}{b+c} \Rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2}+\sum \frac{9}{4}a \geq \sum 3\frac{a}{b+c} \geq 3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$ 

 

(áp dụng BĐT Nesbit)

 

$ \Rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2} \geq \frac{9}{2}-\sum \frac{9}{4}a=\frac{9}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 23:24


#42
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Mọi người chú ý không làm tắt nha, ngắn gọn dễ hiểu, nó cũng là nội quy của diễn đàn  :D

 

 

17) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{1}{2}$

 

18) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

19) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

20) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{ab}{c}\geq 3$

 

21) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq 1$

 

22) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=8 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq 1$

 

 


 

$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{9}{4}a \geq 3\frac{a}{b+c} \Rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2}+\sum \frac{9}{4}a \geq \sum 3\frac{a}{b+c} \geq 3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$ 

 

(áp dụng BĐT Nesbit)

 

$ \Rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2} \geq \frac{9}{2}-\sum \frac{9}{4}a=\frac{9}{4}$

 

BĐT Nesbit:
$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a+b+c}{b+c}\geq \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(\sum \frac{1}{a+b})\geq \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow [(a+b)+(b+c)+(c+a)]\sum \frac{1}{a+b}\geq 9$ (Luôn đúng, cách chứng minh BĐT cuối này là cô si 3 số từng dấu ngoặc)

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-03-2014 - 13:00


#43
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

17) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{1}{2}$

 

 

Tương tự bài 14 trên:

 

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{1-b-c+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{(b-1)(c-1)}} \leq \frac{1}{2}.(\frac{bc}{b-1}+\frac{bc}{c-1})$

 

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}} \leq \sum \frac{1}{2}.(\frac{bc}{b-1}+\frac{bc}{c-1})=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 07-02-2014 - 23:57


#44
davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

2) Chứng minh bất đẳng thức:

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

3) Chứng minh rằng: $\forall a;b> 0$ ta có:

$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

4) Cho $a;b\in (-1;1)$, chứng minh:

$|a+b|< |1+ab|$

5) Cho $a;b;c$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix}abc=1 & & \\ a> \sqrt[3]{36} & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh: $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

6) Cho $a+b\geq 2$. Cmr: $a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$                                

7) Cho $a> 1$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}$                                

8) Cm: $a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq 6abc \forall a;b;c$                              

9) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 & & \\ \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1 & & \end{matrix}\right.$                       Cmr: $3(ab+bc+ca)\geq abc$                                      

10) Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq a(b+c+d+e) \forall a;b;c;d;e$                              

11) Cho $ab\geq 1$. Cm: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$                            

12) Cho $x;y> 0$. Cm: $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$                            

13) Cho $x;y\in \left [ 0;1 \right ]$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$                        

14) Cho $a;b;c> 0$. Cm: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$                          

Bài 14:

Từ đề bài tương đương: $\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{2(ab+bc+ca)}-\frac{c(a-b)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$(1)

Ta có:

          $S_{a}=b+c-a-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

          $S_{b}=c+a-b-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

          $S_{c}=a+b-c-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $S_{b}\geq 0$; $S_{a}+S_{b}\geq 0$; $S_{c}+S_{b}\geq 0$

Theo tiêu chuẩn nguyên lý S.O.S thì (1) đúng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davidsilva98: 08-02-2014 - 00:10


#45
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

                

14) Cho $a;b;c> 0$. Cm: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$                          

 

Bài 14:

Từ đề bài tương đương: $\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{2(ab+bc+ca)}-\frac{c(a-b)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$(1)

Ta có:

          $S_{a}=b+c-a-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

          $S_{b}=c+a-b-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

          $S_{c}=a+b-c-\frac{abc}{ab+bc+ca}$

Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $S_{b}\geq 0$; $S_{a}+S_{b}\geq 0$; $S_{c}+S_{b}\geq 0$

Theo tiêu chuẩn nguyên lý S.O.S thì (1) đúng

Sr, mình đã làm bài 14 thì ra mạng lag chưa gửi được.

14)
Cách 2:

Giả sử $a=min\left \{ a;b;c \right \}$ (1)

Dễ thấy: $\frac{\sum a^2}{\sum ab}\geq 1$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{\sum a^2}{\sum ab}\geq \frac{(\sum a^2)+a^2}{(\sum ab)+a^2}=\frac{2a^2+b^2+c^2}{(a+b)(a+c)}$

Vậy ta cần cm: $\frac{2a^2+b^2+c^2}{(a+b)(a+c)} +\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

$\Leftrightarrow \frac{(b+c)(2a^2+b^2+c^2)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

$\Leftrightarrow 2a^2b+b^3+bc^2+2a^2c+b^2c+c^3+8abc\geq 2abc+2a^2b+2ac^2+2a^2c+2b^2c+2ab^2+2bc^2+2abc$

$\Leftrightarrow (b-c)^2(b+c-2a)\geq 0$ (Luôn đúng do $(b-c)^2\geq 0;b-a>0;c-a>0$ vì (1))



#46
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

18) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

TT bài 11.

18) Áp dụng cauchy 3 số:

$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{6+2(a+b+c)}{8}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

(Áp dụng Cauchy 3 số)

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 27-09-2014 - 11:46


#47
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết


19) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$


 

 

Đặt $x=\frac{1}{a};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ (x, y, z > 0). Mà abc = 1 nên xyz = 1.

 

$\Rightarrow a+b=z(x+y) \Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{x^2}{y+z}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum (\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4})-\frac{x+y+z}{2}$

 

Mà $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4} \geq x$ (Cauchy cho 2 số) nên $\Rightarrow \sum (\frac{x^2}{y+z} + \frac{y+z}{4}) \geq x+y+z$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3(b+c)} \geq (x+y+z)-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$ (Cauchy cho 3 số)

 

$\Rightarrow$ đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 08-02-2014 - 11:35


#48
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

21) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq 1$

 

 

Ta c/m BĐT phụ $a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b)$ với a, b > 0:

 

(C/m tương đương) $a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b) \Leftrightarrow a^5-a^3b^2+b^5-a^2b^3 \geq 0$ 

 

$\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a^2-b^2) \geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2) \geq 0$ (luôn đúng do a, b > 0)

 

Khi đó: $\frac{ab}{a^5+b^5+ab} \leq \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{1}{ab(a+b+c)}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)} = 1$ (đưa $\frac{1}{a+b+c}$ ra ngoài rồi quy đồng bên trong)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 08-02-2014 - 11:55


#49
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

11) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

1 cách nữa cho bài này

$(a+b+c)^{2}=9\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3$

ta có

$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}= \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+bc+ac}\geq \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+3}= \sum (a-\frac{ 3a}{ a^{2}+3})$

áp dụng bđt cô si ta có

$\sum (a-\frac{ 3a}{ a^{2}+3})\geq \sum (a-\frac{3a}{4\sqrt[4]{a^{2}}})= \sum (a-\frac{3\sqrt[4]{a^{2}}}{4})\geq \sum (a-\frac{3(2a+2)}{16})= \frac{3}{4}$

vậy ta  được đpcm



#50
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

19) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

 

Đặt $x=\frac{1}{a};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ (x, y, z > 0). Mà abc = 1 nên xyz = 1.

 

$\Rightarrow a+b=z(x+y) \Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{x^2}{y+z}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum (\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4})-\frac{x+y+z}{2}$

 

Mà $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4} \geq x$ (Cauchy cho 2 số) nên $\Rightarrow \sum (\frac{x^2}{y+z} + \frac{y+z}{4}) \geq x+y+z$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3(b+c)} \geq (x+y+z)-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$ (Cauchy cho 3 số)

 

$\Rightarrow$ đpcm.

19)
Cách 2:

$\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{a^2b^2c^2}{a^3(b+c)}=\sum \frac{b^2c^2}{a(b+c)}\geq \frac{(\sum ab)^2}{2\sum ab}=\frac{\sum ab}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}$ (Cauchy 3 số)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 18:06


#51
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

20) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=3 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{ab}{c}\geq 3$

 

20)
$\sum \frac{ab}{c}\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{a^2b^2}{c^2}+2\sum a^2\geq 9=3\sum a^2$ (Bình phương 2 vế)

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2b^2}{c^2}\geq \sum a^2$ (*)

Mà $\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\geq 2\sqrt{b^4}=2b^2$ (Cauchy)
cmtt...

Vậy (*) luôn đúng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 18:24


#52
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

22) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=8 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq 1$

 

Bài này làm chưa hoàn chỉnh đâu nhé.

22)

$\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\leq \frac{a^2+2}{2}$ (Cauchy)

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq \frac{2}{a^2+2}$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq 2\sum \frac{1}{a^2+2}$

Vậy ta cần CM: $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq \frac{1}{2}$

 

Mọi người chứng minh BĐT phụ này đi.

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 08-02-2014 - 18:56


#53
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$

 

25) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{\sum a}{4}$

 

26) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{\sum a}{6}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 13:59


#54
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

 

Bài này làm chưa hoàn chỉnh đâu nhé.

22)

$\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\leq \frac{a^2+2}{2}$ (Cauchy)

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq \frac{2}{a^2+2}$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq 2\sum \frac{1}{a^2+2}$

Vậy ta cần CM: $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq \frac{1}{2}$

 

Mọi người chứng minh BĐT phụ này đi.

 

 

 

Đặt $a=\frac{2yz}{x^2},b=\frac{2xz}{y^2},c=\frac{2xy}{z^2}$

$= > \sum \frac{1}{a^2+2}=\sum \frac{1}{(\frac{2yz}{x^2})^2+2}=\sum \frac{x^4}{2x^4+4y^2z^2}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{2(\sum x^4+2\sum y^2z^2}=\frac{(\sum x^2)^2}{2(\sum x^2)^2}=\frac{1}{2}$



#55
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$

 

25) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{\sum a}{4}$

 

26) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{\sum a}{6}$

Bài 23:Ta có:$\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{9}{\sum a+\sum bc}\geq \frac{9}{1+\frac{(\sum a)^2}{3}}=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{27}{4}$



#56
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$

 

25) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{\sum a}{4}$

 

26) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{\sum a}{6}$

Bài 24:Ta có:$\sum \frac{ab}{a+b+2c}=\sum \frac{ab}{(a+c)+(a+c)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{ab}{a+c})=\frac{1}{4}(\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{bc}{a+c})=\frac{1}{4}(\sum a)$



#57
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$

 

25) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{\sum a}{4}$

 

26) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{\sum a}{6}$

Bài 26:Ta có:$\sum \frac{ab}{a+3b+2c}=\sum \frac{ab}{(c+b)+(c+a)+2b}\leq \frac{1}{9}(\sum \frac{ab}{c+b}+\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{ab}{2b})=\frac{1}{9}(\sum \frac{ab}{c+b}+\sum \frac{ac}{c+b}+\sum \frac{a}{2})=\frac{\sum a}{6}$



#58
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

25) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{\sum a}{4}$

 

 

Ta có $\frac{ab}{a+b+2c}=\frac{ab}{(c+a)+(a+b)} \leq \frac{1}{4}.(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b})$ (Cauchy dạng cộng mẫu số cho 2 số)

 

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4}.\sum (\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b})=\frac{1}{4}.\sum a$

 

(cộng các phân số cùng mẫu lại và rút gọn)

 

$\Rightarrow$ đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 08-02-2014 - 21:45


#59
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

Bài 23:Ta có:$\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{9}{\sum a+\sum bc}\geq \frac{9}{1+\frac{(\sum a)^2}{3}}=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{27}{4}$

Các bạn làm thì viết lại đề nha, để mình không phải trích dẫn đề nữa.

23) Cách 2:

$\sum \frac{1}{a+bc}=\sum \frac{1}{1-b-c+bc}=\sum \frac{1}{(1-b)(1-c)}$

Có: $\frac{1}{(1-b)(1-c)}+\frac{27(1-b)}{8}+\frac{27(1-c)}{8}\geq 3.\frac{9}{4}=\frac{27}{4}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1-b)(1-c)}+\frac{\sum 54(1-a)}{8}\geq \frac{81}{4}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{(1-b)(1-c)}+\frac{27}{4}(3-a-b-c)\geq \frac{81}{4}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

Bài 24:Ta có:$\sum \frac{ab}{a+b+2c}=\sum \frac{ab}{(a+c)+(a+c)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{ab}{a+c})=\frac{1}{4}(\sum \frac{ab}{a+c}+\sum \frac{bc}{a+c})=\frac{1}{4}(\sum a)$

 

 

Ta có $\frac{ab}{a+b+2c}=\frac{ab}{(c+a)+(a+b)} \leq \frac{1}{4}.(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b})$ (Cauchy dạng cộng mẫu số cho 2 số)

 

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4}.\sum (\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b})=\frac{1}{4}.\sum a$

 

(cộng các phân số cùng mẫu lại và rút gọn)

 

$\Rightarrow$ đpcm

 

2 bài trên giống nhau và đều là bài 25

Daicagiangho1998 fix thành bài 25 đi.

 

 

 

 

24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$

 

24)

 

$a^3c+b^3a+c^3b=abc\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b}=1$
Áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu có:
$1=\sum \frac{a^2}{b}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a}=\sum \sum a$
Áp dụng lần 2: $\sum \frac{b}{a^2+ab}=\sum \frac{1}{\frac{a^2}{b}+a}\geq \frac{9}{\sum \frac{a^2}{b}+\sum a}\geq \frac{9}{1+1}=\frac{9}{2}$

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 09:23


#60
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

27) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt{a^2+b^2}\geq \sqrt{2}.\sum a$

28) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a^3+b^3}\geq \sqrt[3]{2}.\sum a$
29) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[4]{a^4+b^4}\geq \sqrt[4]{2}.\sum a$
30) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\geq \sqrt[5]{2}.\sum a$
Tổng quát:
31) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[n]{a^n+b^n}\geq \sqrt[n]{2}.\sum a$
 
P/s: Phần gõ $\LaTeX$ lại bị làm sao rồi. Mọi người vào đây để gõ rồi copy sang diễn đàn, nhớ là kẹp $$ vào :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 13:58





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh