Chủ đề này có 742 trả lời

[angleofdarkness]

 

 

Không thỏa mãn thì tìm ra A làm gì?

 

Đang xét các T.h của x và y mà chú. 

[Viet Hoang 99]

Đang xét các T.h của x và y mà chú. 

Ừ TH $x=y$ là không thỏa mãn thì nói luôn, không cần suy ra A=... nữa

 
P/s: Đúng là phải làm 1 phần trò chuyện bên dưới mỗi TOPIC.

[angleofdarkness]

Dấu = tại $a=0; b=c$

 

 

Cả hai đều sai, xét hết các BĐT con ra thì dấu bằng khi a = b + c, b = c + a và c = a +b, tức a +b + c = 2(a + b + c), điều này k xảy ra vì a, b, c >0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 09-02-2014 - 14:02

[angleofdarkness]

 

Ừ TH $x=y$ là không thỏa mãn thì nói luôn, không cần suy ra A=... nữa

 
P/s: Đúng là phải làm 1 phần trò chuyện bên dưới mỗi TOPIC.

  

Thừa thì thôi.

[Viet Hoang 99]

6) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\geq 2$

6)

 

$\sqrt{\frac{a^2+bc}{a(b+c)}.1}\leq \frac{a^2+ab+bc+ca}{2ab+2ac}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq \frac{2ab+2ac}{(a+b)(a+c)}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq 2$

[Hoang Tung 126]

 

6)

 

$\sqrt{\frac{a^2+bc}{a(b+c)}.1}\leq \frac{a^2+ab+bc+ca}{2ab+2ac}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq \frac{2ab+2ac}{(a+b)(a+c)}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq 2$

 

Hình như sai rồi

[angleofdarkness]

 

6)

 

$\sqrt{\frac{a^2+bc}{a(b+c)}.1}\leq \frac{a^2+ab+bc+ca}{2ab+2ac}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq \frac{2ab+2ac}{(a+b)(a+c)}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq 2$

 

 

Bài này hình như dấu = cũng không xảy ra, vì lúc đó a = b = c >0, thay lại vào thì VT = 3  . Nói chung xem lại VP xem có phải là 2 không tại chỗ màu đỏ trên ấy, mình nghĩ thế nào cũng không suy ra thế được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 09-02-2014 - 14:31

[Viet Hoang 99]

7) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum a.\sum \frac{1}{a}\geq 3[1+\sqrt[3]{\frac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ca)^2}}]$

8) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\geq 1$

9) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 2$

10) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh 1 tam giác. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c-a}}\geq 3$

11) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=3$. Cmr: $2(ab+bc+ca)+\sum \frac{1}{ab}\geq 9$

12) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=3abc$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3}\geq 3$

13) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc=1$. Cmr: $\sum a^3\geq 2.\sum \frac{a}{b+c}$

14) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sqrt{\frac{a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{c+2a}}+2\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 10-02-2014 - 16:43

[Viet Hoang 99]

Bài này hình như dấu = cũng không xảy ra, vì lúc đó a = b = c >0, thay lại vào thì VT = 3  . Nói chung xem lại VP xem có phải là 2 không tại chỗ màu đỏ trên ấy, mình nghĩ thế nào cũng không suy ra thế được.

Đúng rồi mình nhầm, tưởng rút gọn được =2. Hủy bài 6 đi.

[angleofdarkness]

9) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 2$

 

Ta có $a+b+c+d \geq 2\sqrt{a(b+c+d)} \Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq \frac{2a}{a+b+c+d}$ (Cauchy cho 2 số dương)

 

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 2$ (cộng các phân số cùng mẫu lại)

 

Dấu = khi $\sum a = \sum(b+c+d)$, tức $a+b+c+d=3(a+b+c+d)$ (điều này k xảy ra khi a, b, c, d > 0)

 

Vậy $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}>2$

[Kaito Kuroba]

6) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\geq 2$

 

ta có: $\sum \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}=\sum \frac{a(b+c}{\sqrt{(ab+ac)(a^2+bc)}}\geq \sum \frac{2(ab+ac)}{(a+b)(a+c)}$

giwof ta chỉ cần chứng minh rằng: $\sum \frac{a(b+c)}{(a+b)(a+c)}\geq 1\Leftrightarrow \sum a(b+c)^2\geq \sum (a+b)(b+c)(c+a)\Leftrightarrow 4abc\geq 0$

$"="\Leftrightarrow (a;b;c)=\left(x;0;0 \right)$ và các hoán vị của chúng.

[angleofdarkness]

12) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=3abc$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3}\geq 3$

 

 

Ta có $a+b+c=3abc \Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=3$

 

Có $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+1 \geq \frac{3}{ab} \Rightarrow 2.\sum \frac{1}{a^3}+3 \geq 3.\sum \frac{1}{ab}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3} \geq 3$

 

Dấu = khi ... khi a = b = c = 1.

 

P/s: Ai post bài lần sau xét dấu = giúp vậy, vì nhiều T.h k xảy ra dấu =. 

[Hoang Tung 126]

Bài 10:Theo bđt AM-GM và bđt Schur bậc 3 có :

  $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c-a}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{abc}{abc}}=3$

[angleofdarkness]

9) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 2$

14) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sqrt{\frac{a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{a+2c}}+2\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}\geq 2$

 

Áp dụng bài số 9 trên ta có: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}} \geq 2$

 

Cho d = c, thay vào các mẫu thì ta được $\sqrt{\frac{a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{a+2c}}+2\sqrt{\frac{a}{a+b+c}} \geq 2$

 

Tương tự 9 thì ở đây dấu = cũng k xảy ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 09-02-2014 - 15:12

[Hoang Tung 126]

7) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum a.\sum \frac{1}{a}\geq 3[1+\sqrt[3]{\frac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ca)^2}}]$

8) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt[3]{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\geq 1$

9) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 2$

10) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh 1 tam giác. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c-a}}\geq 3$

11) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=3$. Cmr: $2(ab+bc+ca)+\sum \frac{1}{ab}\geq 9$

12) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=3abc$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3}\geq 3$

13) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc=1$. Cmr: $\sum a^3\geq 2.\sum \frac{a}{b+c}$

14) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sqrt{\frac{a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{c+2a}}+2\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}\geq 2$

Bài 13:Áp dụng bđt AM-GM $= >2 \sum a^3\geq \sum ab(a+b)=\sum \frac{a+b}{c}$(Do abc=1)(1)

Theo bđt $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

$= > \sum \frac{a+b}{c}=\sum \frac{a}{c}+\sum \frac{a}{b}=\sum a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \sum \frac{4a}{b+c}= > \sum \frac{a+b}{c}\geq \sum \frac{4a}{b+c}$(2)

Từ (1),(2)$= > 2\sum a^3\geq 4\sum \frac{a}{b+c}= > \sum a^3\geq 2\sum \frac{a}{b+c}$

[Hoang Tung 126]

Bài 14:Theo AM-GM có:$P=\frac{a}{\sqrt{a(b+2c)}}+\frac{b}{\sqrt{b(c+2a)}}+\frac{c}{\sqrt{c(a+b+c)}}+\frac{c}{\sqrt{c(a+b+c)}}\geq \frac{a}{\frac{a+b+2c}{2}}+\frac{b}{\frac{b+c+2a}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+2c}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+2c}{2}}=2(\frac{a}{a+b+2c}+\frac{b}{b+c+2a}+\frac{c}{a+b+2c}+\frac{c}{a+b+2c})=2(\frac{a^2}{ab+a^2+2ac}+\frac{b^2}{b^2+bc+2ab}+\frac{c^2}{ac+bc+2c^2}+\frac{c^2}{ac+bc+2c^2})\geq 2.\frac{(a+b+2c)^2}{a^2+b^2+4c^2+3ab+3ac+3bc}=2.\frac{a^2+b^2+4c^2+2ab+4ac+4bc}{a^2+b^2+4c^2+3ab+3ac+3bc}\geq 2< = > ac+bc\geq ab$

[Hoang Tung 126]

Bài 7: BĐT $< = > (\sum a)(\sum \frac{1}{a})-3\geq 3\sqrt[3]{\frac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ac)^2}}< = > \sum \frac{a+b}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ac)^2}}$

Mặt khác theo AM-GM 3 số có:$\sum \frac{a+b}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$

 Do đó ta cần CM:$3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ac)^2}}< = > (ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)< = > (ab-ac)^2+(bc-ba)^2+(ca-cb)^2\geq 0$

(Luôn đúng)

 Do đó ta có ĐPCM. Dấu = xảy ra tại $a=b=c$

[Hoang Tung 126]

Bài 11:Ta có:$A=2\sum ab+\sum \frac{1}{ab}=2\sum ab+\frac{\sum a}{abc}=2\sum ab+\frac{3}{abc}=\sum ab+\sum ab+\frac{3}{abc}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(\sum ab)^2}{abc}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3abc(\sum a).3}{abc}}=3\sqrt[3]{9(\sum a)}=3\sqrt[3]{3.9}=9$

Dấu = xảy ra tại a=b=c=1

[Viet Hoang 99]

Bài 10:Theo bđt AM-GM và bđt Schur bậc 3 có :

  $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c-a}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{abc}{abc}}=3$

Làm thế này thì lại phải chứng minh BĐT phụ:
$abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ (CM bằng cách đặt 3 ẩn phụ bên VP)
Cách ngắn gọn hơn:
10)
$\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}\leq \frac{b+c}{2a}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c-a}}\geq \frac{2a}{b+c}$

 

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c-a}}\geq 2.\sum \frac{a}{b+c}\geq 2.\frac{3}{2}=3$ (BĐT Nesbit đã CM ở bài trước)

Dấu = xảy ra tại: $a=b=c>0$

 

 

Bài 14:Theo AM-GM có:$P=\frac{a}{\sqrt{a(b+2c)}}+\frac{b}{\sqrt{b(c+2a)}}+\frac{c}{\sqrt{c(a+b+c)}}+\frac{c}{\sqrt{c(a+b+c)}}\geq \frac{a}{\frac{a+b+2c}{2}}+\frac{b}{\frac{b+c+2a}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+2c}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+2c}{2}}=2(\frac{a}{a+b+2c}+\frac{b}{b+c+2a}+\frac{c}{a+b+2c}+\frac{c}{a+b+2c})=2(\frac{a^2}{ab+a^2+2ac}+\frac{b^2}{b^2+bc+2ab}+\frac{c^2}{ac+bc+2c^2}+\frac{c^2}{ac+bc+2c^2})\geq 2.\frac{(a+b+2c)^2}{a^2+b^2+4c^2+3ab+3ac+3bc}=2.\frac{a^2+b^2+4c^2+2ab+4ac+4bc}{a^2+b^2+4c^2+3ab+3ac+3bc}\geq 2< = > ac+bc\geq ab$

 

 

Sai đề này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 19:26

[Viet Hoang 99]

 

8) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\geq 1$

 

8)

$\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sum \sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^3}}=\sum \sqrt{\frac{1}{1+x^3}}=\sum \frac{1}{\sqrt{(1+x)(x^2-x+1}}\geq \sum \frac{2}{x^2+2}=\sum \frac{2}{(\frac{b+c}{a})^2+2}=\sum \frac{2a^2}{(b+c)^2+2a^2}\geq \sum \frac{2a^2}{2(b^2+c^2)+2a^2}=\sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}=1$

P/s: Đặt $\frac{b+c}{a}=x$ cho dễ nhìn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 10-02-2014 - 16:43