Chủ đề này có 8 trả lời

[Nguyen Duc Thuan]

Câu 1: (4 đ) Cho biểu thức:

$A=\left ( \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2} +\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right ):\left ( 1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right )$

a) Rút gọn $A$.

b) Tính $A$ khi $x=6-2\sqrt{5}$.

c) Tìm GTNN của $\frac{1}{A}$.

 

Câu 2: (3 đ)

a) CMR $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ là số chính phương với mọi $n$ là số tự nhiên.

b) GPT: $\frac{\sqrt{x-2012}-1}{x-2012}+\frac{\sqrt{y-2013}-1}{y-2013}+\frac{\sqrt{z-2014}-1}{z-2014}=\frac{3}{4}$

 

Câu 3: (4 đ)

a) GPT nghiệm nguyên: $2x^2+4x=19-3y^2$

b) Tìm $a,b$ sao cho $\overline{a56b}$ chia hết cho 45.

 

Câu 4: (7 đ)

1) Cho nửa (O;R) đường kính BC. Lấy A trên nửa đường tròn, kẻ AH vuông góc với BC. Gọi D và E là hình chiếu của H lên AC và Ab.

a. CMR: $AB.EB+AC.EH=AB^2$

b. Xác định vị trí của điểm A Sao cho tứ giác có diên tích lớn nhất. Tính theo R.

2) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ 1 đường thẳng cắt BC tại M, cắt CD tại I. CMR:

$\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{a^2}$

 

Câu 5: Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR;

$\sum \frac{1}{x+y+1}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 16-12-2013 - 21:23

[Near Ryuzaki]

Câu 2: (3 đ)

a) CMR $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ là số chính phương với mọi $n$ là số tự nhiên.

Mai thi văn rồi , giờ thấy câu này dễ chém trước thôi , mai thi xong chém tiếp :

$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 (1)$

Đặt $t=n^2+3n+1$ 

$(1)$ trở thành $(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=t^2-1+1=t^2=(n^2+3n+1)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 16-12-2013 - 17:19

[Viet Hoang 99]

 

Câu 3: (4 đ)

 

b) Tìm $a,b$ sao cho $\overline{a56b}$ chia hết cho 45.

 

Chứng minh chia hết cho 9 và 5
$\left\{\begin{matrix}(a+b+11)\vdots 9 & & \\ \begin{bmatrix}b=0 & & \\ b=5 & & \end{bmatrix} & & \end{matrix}\right.$

Tìm được: $b=0;a=7$; $b=5;a=2$

[Viet Hoang 99]

Câu 5: Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR;

$\sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}=\sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+xyz}\leq \sum \frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\sum \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{xyz(x+y+z)}=1$\leq 1$

Sai đề à bạn!?
Chứng minh bổ đề sau bằng cách biến đổi tương đương:
$x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$

Ta có:$\sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}=\sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+xyz}\leq \sum \frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\sum \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{xyz(x+y+z)}=1$

[Viet Hoang 99]

 

Câu 3: (4 đ)

a) GPT nghiệm nguyên: $2x^2+4x=19-3y^2$

 

 

$2x^2+4x=19-3y^2$

$\Leftrightarrow 21-3y^{2}=2(x+1)^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow 3y^{2}\leq 21$

$\Leftrightarrow y^{2}\leq 7$

Mà $y$ nguyên.

$\Rightarrow y=0;\pm 1;\pm 2$

[Viet Hoang 99]

Câu 1: (4 đ) Cho biểu thức:

$A=\left ( \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x-2}} +\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right ):\left ( 1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right )$

a) Rút gọn $A$.

b) Tính $A$ khi $x=6-2\sqrt{5}$.

c) Tìm GTNN của $\frac{1}{A}$.

Lại sai đề tiếp:
a)ĐKXĐ:$x\neq 4;9$
$A=\left ( \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x-2}} +\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right ):\left ( 1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right )=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}$

b)$x=6-2\sqrt{5}=(\sqrt{5}-1)^{2}\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{5}-1$

$\Rightarrow A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-3}$

c)$\frac{1}{A}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\geq 1-\frac{3}{1}=-2$

Dấu "=" xảy ra khi:$x=0$ (t/m)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 16-12-2013 - 17:58

[Viet Hoang 99]

 

Câu 4: (7 đ)

1) Cho nửa (O;R) đường kính BC. Lấy A trên nửa đường tròn, kẻ AH vuông góc với BC. Gọi D và E là hình chiếu của H lên AC và Ab.

a. CMR: $AB.EB+AC.EH=AB^2$

b. Xác định vị trí của điểm A Sao cho tứ giác có diên tích lớn nhất. Tính theo R.

2) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ 1 đường thẳng cắt BC tại M, cắt CD tại I. CMR:

$\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{a^2}$

 

1) a) $A$ thuộc nửa đường tròn đường kính $BC$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Vậy tứ giác $AEHD$ là hình chữ nhật.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

• $AB.EB=BH^{2}$
• $AC.EH=AC.AD=AH^{2}$

Cộng theo vế và áp dụng Pytago => đpcm.

b) Trời ơi cái đề bạn đăng lúc sai lúc thiếu!

Ngồi thi 150 phút cái đề này chắc đánh bay ăn 20 điểm haha@@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 16-12-2013 - 18:01

[Trang Luong]

Câu 1: (4 đ) Cho biểu thức:

$A=\left ( \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x-2}} +\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right ):\left ( 1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right )$

a) Rút gọn $A$.

b) Tính $A$ khi $x=6-2\sqrt{5}$.

c) Tìm GTNN của $\frac{1}{A}$.

 

Câu 2: (3 đ)

a) CMR $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ là số chính phương với mọi $n$ là số tự nhiên.

b) GPT: $\frac{\sqrt{x-2012}-1}{x-2012}+\frac{\sqrt{y-2013}-1}{y-2013}+\frac{\sqrt{z-2014}-1}{z-2014}=\frac{3}{4}$

 

Câu 3: (4 đ)

a) GPT nghiệm nguyên: $2x^2+4x=19-3y^2$

b) Tìm $a,b$ sao cho $\overline{a56b}$ chia hết cho 45.

 

Câu 4: (7 đ)

1) Cho nửa (O;R) đường kính BC. Lấy A trên nửa đường tròn, kẻ AH vuông góc với BC. Gọi D và E là hình chiếu của H lên AC và Ab.

a. CMR: $AB.EB+AC.EH=AB^2$

b. Xác định vị trí của điểm A Sao cho tứ giác có diên tích lớn nhất. Tính theo R.

2) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ 1 đường thẳng cắt BC tại M, cắt CD tại I. CMR:

$\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{a^2}$

 

Câu 5: Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR;

$\sum \frac{1}{x+y+1}\leq 1$

Câu 2b

$GT\Rightarrow \frac{4\sqrt{x-2012}-4-(x-2012)}{x-2012}+\frac{4\sqrt{y-2013}-4-(y-2013)}{y-2013}+\frac{4\sqrt{z-2014}-4-(z-2014)}z-2014{}=0\Rightarrow \frac{\left ( \sqrt{x-2012}-2 \right )^2}{x-2012}+\frac{\left ( \sqrt{y-2013}-2 \right )^2}{y-2013}+\frac{\left ( \sqrt{z-2014}-2 \right )^2}{z-2014}=0$

$\Rightarrow x=2016,y=2017,z=2018$

[dotandung]

$2x^2+4x=19-3y^2$

$\Leftrightarrow 21-3y^{2}=2(x+1)^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow 3y^{2}\leq 21$

$\Leftrightarrow y^{2}\leq 7$

Mà $y$ nguyên.

$\Rightarrow y=0;\pm 1;\pm 2$

 mình có cách hay hơn
2(x+1)^2+3y^2=21 nên (x+1)^2 chia hết cho 3 nhỏ hơn 21/2 nên x=-1;2 từ đó ra y