Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangmanhquan]

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b,c thỏa mãn a+b+c=3. CMR: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

Bài 2: Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn:$0\leq x;y\leq \frac{1}{2}$. CMR: $\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

[buiminhhieu]

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b,c thỏa mãn a+b+c=3. CMR: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

Bài 2: Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn:$0\leq x;y\leq \frac{1}{2}$. CMR: $\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

1,

BĐT$\Leftrightarrow 2\sum ab\leq 2\sum \sqrt{a}\Leftrightarrow (\sum a)^{2}\leq \sum a^{2}+2\sum \sqrt{a}$

Áp dụng BĐT cosi

$a^{2}+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a\Rightarrow \sum a^{2}+2\sum \sqrt{a}\geq 3\sum a=(\sum a)^{2}$

[nam8298]

bài 2  :áp dụng AM-Gm ta có $\sqrt{\frac{x}{2}}\leq \frac{2x+1}{2}$

tương tự cho y

ta chứng minh $\frac{2x+1}{1+y}+\frac{2y+1}{1+x}\leq \frac{8}{3}$

tương đương $\frac{2x^{2}+2y^{2}+3x+3y+2}{1+xy+x+y}\leq \frac{8}{3}$

ta có (x-0,5)(y-0,5)$\geq 0$ tương đương 4xy+1$\geq$ 2(x+y)

mà $2x^{2}\leq x;2y^{2}\leq y$ .từ đó biến đổi ra đpcm