Chủ đề này có 3 trả lời

[huou202]

Bài 1 : Cho x,y là các số dương thỏa mãn $x^2+y^2+xy=3$.Tìm min, max của biếu thức $P=x^3+y^3-(x^2+y^2)$.

Bài 2 : Cho x,y là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{xy}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$. Tìm max của 

$P=\frac{3y}{x(y+1)}+\frac{3x}{y(x+1)}+\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huou202: 18-12-2013 - 20:29

[BoFaKe]

Bài 1 : Cho x,y là các số dương thỏa mãn $x^2+y^2+xy=3$.Tìm min, max của biếu thức $P=x^3+y^3-(x^2+y^2)$.

Từ giả thiết ta có :

$(x+y)^{2}-3=xy$ và $x^{2}+y^{2}=3-xy$.Biến đổi biểu thức thành

$P=(x+y)^{3}-3xy(x+y)-(x+y)^{2}+2xy=-2(x+y)^{3}+(x+y)^{2}+9(x+y)-6$

Đặt $x+y=t$.Từ giả thiết : $t^{2}=3+xy \leq 3+\frac{t^{2}}{4}\Rightarrow t\leq 2; t> \sqrt{3}$.Khảo sát hàm số 

------------------------------------

P/S:Không biết mình có tính sai chỗ nào không nhưng mà hình như chỉ tìm được min.....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 19-12-2013 - 11:49

[25 minutes]

Bài 2 : Cho x,y là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{xy}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$. Tìm max của 

$P=\frac{3y}{x(y+1)}+\frac{3x}{y(x+1)}+\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}$

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b\Rightarrow a+b+ab=3$

Và $P=\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}-a^2-b^2=\frac{3(a^2+b^2)+3(a+b)}{ab+a+b+1}+\frac{ab}{a+b}-(a+b)^2+2ab$

Thay $a+b+ab=3$ vào ta có 

             $P=\frac{3(a+b)^2-6ab+3(a+b)}{ab+a+b+1}+\frac{ab}{a+b}-(a+b)^2+2ab=\frac{3(a+b)^2-6(3-a-b)+3(a+b)}{4}+\frac{3-a-b}{a+b}-(a+b)^2+2(3-a-b)$

Đặt $a+b=t$$\Rightarrow P=\frac{3t^2-6(3-t)+3t}{4}+\frac{3-t}{t}-t^2+2(3-t)=\frac{-t^2}{4}+\frac{t}{4}+\frac{1}{2}+\frac{3}{t}=f(t)$

Từ giả thiết áp dụng AM-GM ta có $a+b+ab=3\leqslant a+b+\frac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow t=a+b\geqslant 2$

Xét $f(t)=\frac{-t^2}{4}+\frac{t}{4}+\frac{1}{2}+\frac{3}{t}, t \in \left [2;+3 \right )$ ta có 

       $\Rightarrow f'(t)=\frac{-t}{2}+\frac{1}{4}-\frac{3}{t^2}=\frac{-2t^3+t^2-12}{4t^2}<0$

       $\Rightarrow f(t) \leqslant f(2)=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1$ hay $x=y=1$

[kfcchicken98]

$\sum \frac{3y}{x(y+1)}=\frac{x+y+1}{x^{2}(y+1)}+\frac{x+y+1}{y^{2}(x+1)}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x(y+1)}+\frac{1}{y(x+1)}$

suy ra P=$\frac{1}{x(y+1)}+\frac{1}{y(x+1)}+\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}(2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}))=\frac{3}{2}$

suy ra max = 3/2