Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các bộ $(A,B)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
unvhoang1998

unvhoang1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết

Cho tập hợp $X= { 1,2,...,n } $. Gọi $A,B$ là hai tập con của $X$. Tìm tất cả các bộ $(A,B)$ thỏa mãn $A$ không phải là tập con của $B$ và $B$ cũng không phải là tập con của $A$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi unvhoang1998: 19-12-2013 - 17:03

  • LNH yêu thích

$\sqrt{\tilde{\mho}}$

 

H$\sigma$$\grave{\alpha}$$\eta$$\varrho$

Không có gì là không thể......... trừ khi bạn không đử dũng khí để tiếp tục làm!!!!

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 Rất mong làm quen  MY FACEBOOK


#2
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài giải sai rồi, mod xoá giúp :( 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 21-12-2013 - 10:35


#3
unvhoang1998

unvhoang1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết

ban có thể giải thích rõ làm s để có được kết quả đó hay không (nêu rõ cách tính)  làm sao để có được $(n-1).n.4^{n-2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi unvhoang1998: 20-12-2013 - 18:35

$\sqrt{\tilde{\mho}}$

 

H$\sigma$$\grave{\alpha}$$\eta$$\varrho$

Không có gì là không thể......... trừ khi bạn không đử dũng khí để tiếp tục làm!!!!

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 Rất mong làm quen  MY FACEBOOK


#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Cho tập hợp $X= { 1,2,...,n } $. Gọi $A,B$ là hai tập con của $X$. Tìm tất cả các bộ $(A,B)$ thỏa mãn $A$ không phải là tập con của $B$ và $B$ cũng không 

phải là tập con của $A$

 


 

 

 

 

 

Ta sẽ đếm số tập hợp như sau:

Có $n$ cách chọn 1 phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$

Có $n-1$ cách chọn 1 phần tử thuộc $B$ nhưng không thuộc $A$

Với $n-2$ phần tử còn lại:

Mỗi phần tử có thể thuộc một trong 4 trạng thái sau: chỉ thuộc $A$, chỉ thuộc $B$, thuộc cả $A$ và $B$, không thuộc cả $A$ và $B$

Vậy có tổng cộng $\left ( n-1 \right ).n.4^{n-2}$ cách chọn bộ tập con $A$ và $B$

Gọi :

$P=A\B$ (gồm các phần tử thuộc $A$ mà không thuộc $B$)

$Q=B\A$ (gồm các phần tử thuộc $B$ mà không thuộc $A$)

$R=A\cap B$ và $S=\overline{A}\cap \overline{B}$ ($P,Q,R,S$ từng đôi một không giao nhau)

$A$ ko là tập con của $B$ và $B$ ko là tập con của $A$ khi và chỉ khi $P$ và $Q$ đều không rỗng.

Gọi số phần tử của $P,Q,R,S$ lần lượt là $p,q,r,s$ ---> $p+q+r+s=n$.Xét các TH sau :

$1)$ $p+q=2$ ($p,q\neq 0$) ; $r+s=n-2$

+ Chọn $2$ trong $n$ phần tử ---> $C_{n}^{2}$ cách

+ Xếp mỗi phần tử đẫ chọn vào $P$ hoặc $Q$ sao cho $P$ và $Q$ đều không rỗng ---> $2^{2}-2$ cách

+ Xếp mỗi phần tử còn lại vào $R$ hoặc $S$ ---> $2^{n-2}$ cách

$\Rightarrow$ TH 1 có $C_{n}^{2}.(2^2-2).2^{n-2}=C_{n}^{2}.(2^n-2^{n-1})$ cách chọn bộ $(A,B)$

 

$2)$ $p+q=3$ ($p,q\neq 0$) ; $r+s=n-3$

+ Chọn $3$ trong $n$ phần tử ---> $C_{n}^{3}$ cách

+ Xếp mỗi phần tử đẫ chọn vào $P$ hoặc $Q$ sao cho $P$ và $Q$ đều không rỗng ---> $2^{3}-2$ cách

+ Xếp mỗi phần tử còn lại vào $R$ hoặc $S$ ---> $2^{n-3}$ cách

$\Rightarrow$ TH 2 có $C_{n}^{3}.(2^3-2).2^{n-3}=C_{n}^{3}.(2^n-2^{n-2})$ cách chọn bộ $(A,B)$

 

$3)$ $p+q=4$ ($p,q\neq 0$) ; $r+s=n-4$

+ Chọn $4$ trong $n$ phần tử ---> $C_{n}^{4}$ cách

+ Xếp mỗi phần tử đẫ chọn vào $P$ hoặc $Q$ sao cho $P$ và $Q$ đều không rỗng ---> $2^{4}-2$ cách

+ Xếp mỗi phần tử còn lại vào $R$ hoặc $S$ ---> $2^{n-4}$ cách

$\Rightarrow$ TH 3 có $C_{n}^{4}.(2^4-2).2^{n-4}=C_{n}^{4}.(2^n-2^{n-3})$ cách chọn bộ $(A,B)$

...............................................................................

..............................................................................

 

$n-1)$ $p+q=n$ ($p,q\neq 0$) ; $r+s=0$

+ Xếp mỗi phần tử (trong $n$ phần tử) vào $P$ hoặc $Q$ sao cho $P$ và $Q$ đều không rỗng ---> $2^{n}-2$ cách

$\Rightarrow$ TH n-1 có $C_{n}^{n}.(2^n-2)$ cách chọn bộ $(A,B)$

 

Cộng tất cả n-1 TH trên lại $\Rightarrow$ tổng số cách chọn là :

$(C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+...+C_{n}^{n}).2^n-(C_{n}^{2}.2^{n-1}+C_{n}^{3}.2^{n-2}+...+C_{n}^{n}.2)=(C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+...+C_{n}^{n}).2^n-2(C_{n}^{2}.2^{n-2}+C_{n}^{3}.2^{n-3}+...+C_{n}^{n}.2^0)=(2^n-n-1).2^n-2(3^n-2^n-n.2^{n-1})=2^{2n}+2^n-2.3^n$ cách chọn.

 

Chẳng hạn khi $n=3$ thì có $2^6+2^3-2.3^3=18$ cách chọn 2 tập $A$ và $B$ thoả mãn ĐK bài toán (Ban LNH kiểm tra lại)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 21-12-2013 - 10:24

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
quocbaolqd11

quocbaolqd11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

Gọi :

$P=A\B$ (gồm các phần tử thuộc $A$ mà không thuộc $B$)

$Q=B\A$ (gồm các phần tử thuộc $B$ mà không thuộc $A$)

$R=A\cap B$ và $S=\overline{A}\cap \overline{B}$ ($P,Q,R,S$ từng đôi một không giao nhau)

$A$ ko là tập con của $B$ và $B$ ko là tập con của $A$ khi và chỉ khi $P$ và $Q$ đều không rỗng.

Gọi số phần tử của $P,Q,R,S$ lần lượt là $p,q,r,s$ ---> $p+q+r+s=n$.Xét các TH sau :

$1)$ $p+q=2$ ($p,q\neq 0$) ; $r+s=n-2$

+ Chọn $2$ trong $n$ phần tử ---> $C_{n}^{2}$ cách

+ Xếp mỗi phần tử đẫ chọn vào $P$ hoặc $Q$ sao cho $P$ và $Q$ đều không rỗng ---> $2^{2}-2$ cách

+ Xếp mỗi phần tử còn lại vào $R$ hoặc $S$ ---> $2^{n-2}$ cách

$\Rightarrow$ TH 1 có $C_{n}^{2}.(2^2-2).2^{n-2}=C_{n}^{2}.(2^n-2^{n-1})$ cách chọn bộ $(A,B)$

 

$2)$ $p+q=3$ ($p,q\neq 0$) ; $r+s=n-3$

+ Chọn $3$ trong $n$ phần tử ---> $C_{n}^{3}$ cách

+ Xếp mỗi phần tử đẫ chọn vào $P$ hoặc $Q$ sao cho $P$ và $Q$ đều không rỗng ---> $2^{3}-2$ cách

+ Xếp mỗi phần tử còn lại vào $R$ hoặc $S$ ---> $2^{n-3}$ cách

$\Rightarrow$ TH 2 có $C_{n}^{3}.(2^3-2).2^{n-3}=C_{n}^{3}.(2^n-2^{n-2})$ cách chọn bộ $(A,B)$

 

$3)$ $p+q=4$ ($p,q\neq 0$) ; $r+s=n-4$

+ Chọn $4$ trong $n$ phần tử ---> $C_{n}^{4}$ cách

+ Xếp mỗi phần tử đẫ chọn vào $P$ hoặc $Q$ sao cho $P$ và $Q$ đều không rỗng ---> $2^{4}-2$ cách

+ Xếp mỗi phần tử còn lại vào $R$ hoặc $S$ ---> $2^{n-4}$ cách

$\Rightarrow$ TH 3 có $C_{n}^{4}.(2^4-2).2^{n-4}=C_{n}^{4}.(2^n-2^{n-3})$ cách chọn bộ $(A,B)$

...............................................................................

..............................................................................

 

$n-1)$ $p+q=n$ ($p,q\neq 0$) ; $r+s=0$

+ Xếp mỗi phần tử (trong $n$ phần tử) vào $P$ hoặc $Q$ sao cho $P$ và $Q$ đều không rỗng ---> $2^{n}-2$ cách

$\Rightarrow$ TH n-1 có $C_{n}^{n}.(2^n-2)$ cách chọn bộ $(A,B)$

 

Cộng tất cả n-1 TH trên lại $\Rightarrow$ tổng số cách chọn là :

$(C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+...+C_{n}^{n}).2^n-(C_{n}^{2}.2^{n-1}+C_{n}^{3}.2^{n-2}+...+C_{n}^{n}.2)=(C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+...+C_{n}^{n}).2^n-2(C_{n}^{2}.2^{n-2}+C_{n}^{3}.2^{n-3}+...+C_{n}^{n}.2^0)=(2^n-n-1).2^n-2(3^n-2^n-n.2^{n-1})=2^{2n}+2^n-2.3^n$ cách chọn.

 

Chẳng hạn khi $n=3$ thì có $2^6+2^3-2.3^3=18$ cách chọn 2 tập $A$ và $B$ thoả mãn ĐK bài toán (Ban LNH kiểm tra lại)

mình thấy cũng không cần phải giải cầu kì như thế.
để tính số cặp $(A,B)$ thỏa yêu cầu đề thì ta phải tính số bộ $(A,B)$ mà $A \subset B$ hoặc $B \subset A$.
nếu $B \subset A$. Xét phần tử $x \in X$ bất kì, khi đó $x$ luôn có 3 cách chọn là:"thuộc B; không thuộc B nhưng thuộc A và  không thuộc cả 2", mà có tất cả $n$ phần tử nên có $3^n$ bộ $(A,B)$ mà $B \subset A$. Tương tự vậy với các bộ mà $A \subset B $. Giờ xét bộ $(A,B)$ mà A vừa là con của B mà B cũng là con của A thì khi đó $A=B$ và số bộ $(A,B)$ là $2^n$ (số tập con của X). vậy số bộ $(A,B)$ mà $A \subset B$ hoặc $B \subset A$ = số bộ $B \subset A$+số bộ $B \subset A$-số bộ A vừa là con của B mà B cũng là con của A $=2.3^n-2^n$.
từ đó, số bộ thỏa ycđb là $4^n-2.3^n+2^n$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocbaolqd11: 23-12-2013 - 00:08





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh