Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác đều ABC. Một đường thẳng d tiếp xúc với (I) và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng
$\frac{MA}{MB}+\frac{NA}{NC} = 1$
#2
Đã gửi 02-01-2014 - 15:39
Idie9xx
-
- Thành viên
-
- 319 Bài viết
Sĩ quan
Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác đều ABC. Một đường thẳng d tiếp xúc với (I) và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng
$\frac{MA}{MB}+\frac{NA}{NC} = 1$
Với $F,D$ lần lượt là trung điểm của đoạn $AB,AC$
Đặt $\alpha=\widehat{FIM},\beta=\widehat{DIN}$ dễ thấy $\alpha+\beta=60^{\circ}$
Có $\tan\alpha=\dfrac{FM}{FI},\tan\beta=\dfrac{DN}{DI},\tan60^{\circ}=\dfrac{AF}{IF}=\dfrac{AD}{DI}$
Ta có $\frac{MA}{MB}+\frac{NA}{NC} = \frac{AF-MF}{AF+MF}+\frac{AD-DN}{AD+AN} $
$=\dfrac{\dfrac{AF}{FI}-\dfrac{MF}{FI}}{\dfrac{AF}{FI}+\dfrac{MF}{FI}}+\dfrac{\dfrac{AD}{DI}-\dfrac{ND}{DI}}{\dfrac{AD}{DI}+\dfrac{ND}{DI}}$
$=\dfrac{\tan60^{\circ}-\tan\alpha}{\tan60^{\circ}+\tan\alpha}+\dfrac{\tan60^{\circ}-\tan\beta}{\tan60^{\circ}+\tan\beta}=1$
$\Rightarrow \dfrac{\tan(\alpha+\beta)-\tan\alpha}{\tan(\alpha+\beta)+\tan\alpha}+\dfrac{\tan(\alpha+\beta)-\tan\beta}{\tan(\alpha+\beta)+\tan\beta}=1,(*)$
Cái $(*)$ bạn tự chứng minh xem có đúng không 
( dựa vào công thức $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot \tan\beta}$ )
- Zaraki và RoyalMadrid thích
$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$
#3
Đã gửi 02-01-2014 - 19:05
RoyalMadrid
-
- Thành viên
-
- 194 Bài viết
Trung sĩ
Với $F,D$ lần lượt là trung điểm của đoạn $AB,AC$
Đặt $\alpha=\widehat{FIM},\beta=\widehat{DIN}$ dễ thấy $\alpha+\beta=60^{\circ}$
Có $\tan\alpha=\dfrac{FM}{FI},\tan\beta=\dfrac{DN}{DI},\tan60^{\circ}=\dfrac{AF}{IF}=\dfrac{AD}{DI}$
Ta có $\frac{MA}{MB}+\frac{NA}{NC} = \frac{AF-MF}{AF+MF}+\frac{AD-DN}{AD+AN} $
$=\dfrac{\dfrac{AF}{FI}-\dfrac{MF}{FI}}{\dfrac{AF}{FI}+\dfrac{MF}{FI}}+\dfrac{\dfrac{AD}{DI}-\dfrac{ND}{DI}}{\dfrac{AD}{DI}+\dfrac{ND}{DI}}$
$=\dfrac{\tan60^{\circ}-\tan\alpha}{\tan60^{\circ}+\tan\alpha}+\dfrac{\tan60^{\circ}-\tan\beta}{\tan60^{\circ}+\tan\beta}=1$
$\Rightarrow \dfrac{\tan(\alpha+\beta)-\tan\alpha}{\tan(\alpha+\beta)+\tan\alpha}+\dfrac{\tan(\alpha+\beta)-\tan\beta}{\tan(\alpha+\beta)+\tan\beta}=1,(*)$
Cái $(*)$ bạn tự chứng minh xem có đúng không
Còn cách nào nó ít dính đến mấy cái lượng giác này không bạn?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RoyalMadrid: 02-01-2014 - 19:20
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
