Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\sum_{k= 1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{1+k^{2}}C_{2n}^{n+k}<0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hi lucky

hi lucky

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 20-12-2013 - 23:58

Chứng minh rằng:

$\sum_{k= 1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{1+k^{2}}C_{2n}^{n+k}<0$


Hãy theo đuổi đam mê  :icon11: thành công sẽ đuổi theo bạn!  %%-  %%-  %%- 


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 06-03-2019 - 13:32

Chứng minh rằng:

$\sum_{k= 1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{1+k^{2}}C_{2n}^{n+k}<0$

Đặt $S=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{1+k^2}\ C_{2n}^{n+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{1+k^2}\ C_{2n}^{n-k}$

Xét 2 trường hợp :

+ $n$ chẵn ($n=2m$) :

   Khi đó $S$ có thể viết thành tổng của $m$ tổng con ($S_1,S_2,...,S_m$), mỗi tổng con là tổng của 2 số hạng liên tiếp của $S$.

   Xét tổng con thứ $j$ bất kỳ ($1\leqslant j\leqslant m$), ta có :

  $S_j=\frac{(-1)^{2j-1}}{1+(2j-1)^2}\ C_{4m}^{2m-2j+1}+\frac{(-1)^{2j}}{1+(2j)^2}\ C_{4m}^{2m-2j}=-\frac{C_{4m}^{2m-2j+1}}{1+(2j-1)^2}+\frac{C_{4m}^{2m-2j}}{1+(2j)^2}$

   Chú ý rằng $C_{4m}^{2m-2j+1}> C_{4m}^{2m-2j}$ và $1+(2j-1)^2< 1+(2j)^2$. Do đó $\frac{C_{4m}^{2m-2j+1}}{1+(2j-1)^2}> \frac{C_{4m}^{2m-2j}}{1+(2j)^2}$

   Từ đó suy ra $S_j< 0,\forall j$ từ $1$ đến $m$ $\Rightarrow S=\sum_{j=1}^{m}S_j< 0$

 

+ $n$ lẻ ($n=2m+1$) :

   Khi đó $S$ có thể viết thành tổng của m+1 tổng con ($S_1,S_2,...,S_{m+1}$), mỗi tổng con là tổng của 2 số hạng liên tiếp của $S$, riêng tổng con thứ m+1 chỉ có 1 số hạng là số hạng cuối cùng của $S$.

   Xét tổng con thứ $j$ bất kỳ ($1\leqslant j\leqslant m$), ta có :

  $S_j=\frac{(-1)^{2j-1}}{1+(2j-1)^2}\ C_{4m+2}^{2m-2j+2}+\frac{(-1)^{2j}}{1+(2j)^2}\ C_{4m+2}^{2m-2j+1}=-\frac{C_{4m+2}^{2m-2j+2}}{1+(2j-1)^2}+\frac{C_{4m+2}^{2m-2j+1}}{1+(2j)^2}$

   Chú ý rằng $C_{4m+2}^{2m-2j+2}> C_{4m+2}^{2m-2j+1}$ và $1+(2j-1)^2< 1+(2j)^2$. Do đó $\frac{C_{4m+2}^{2m-2j+2}}{1+(2j-1)^2}> \frac{C_{4m}^{2m-2j+1}}{1+(2j)^2}$

   Từ đó suy ra $S_j< 0,\forall j$ từ $1$ đến $m$. Mặt khác, $S_{m+1}$ là số hạng thứ 2m+1 của $S$ nên nó cũng âm.

   $\Rightarrow S=S_{m+1}+\sum_{j=1}^{m}S_j< 0$

 

Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có $S< 0$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh