Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x,y thuộc $[0;1]$;$x\geq y$.CM $y^{2}(x^{3}+y)+x^{2}\geq xy(x^{2}+y^{2}+1)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Cho x,y thuộc $[0;1]$;$x\geq y$.CM $y^{2}(x^{3}+y)+x^{2}\geq xy(x^{2}+y^{2}+1)$

 



#2
haitienbg

haitienbg

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Ta có $x^3y^2+y^3\geq2xy^2\sqrt{xy}$

nên cần cm:

$2y^2\sqrt{xy}+x \geq y(x^2+y^2+1)\Leftrightarrow (x-y)+2y^2\sqrt{xy}-y(x^2+y^2)\geq 0$

Mà $x-y \geq x^2(x-y)$

nên cần cm:

$x^2(x-y)+2y^2\sqrt{xy}-y(x^2+y^2) \geq 0\Leftrightarrow x(x-y)^2\geq y^2(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$

luôn đúng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haitienbg: 23-12-2013 - 19:26

......Không có việc gì là không thể......... 

           = ====== NVT ====== =


#3
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Hơi nhọ 1 tí nhưng cũng đã sai :$x^{3}y^{2}\geq 2xy^{2}\sqrt{xy}$ .

Có 1 cách khá hay cho bài này:

Xét $f(x)=y^{2}x^{3}+y^{3}+x^{2}-x^{3}y-xy^{3}-xy$ với $0\leq y\leq x\leq 1$

Nế mà $f(x)'\geq 0$ thì hàm đồng biến $\Rightarrow f(x)\geq f(y)=y^{3}+y^{5}-2y^{4}\geq 0$ (vì $1\geq y$)

Còn nếu $f(x)< 0$ thì hàm nghịch biến $\Rightarrow f(x)\geq f(1)=(y-1)^{2}\geq 0$

Tóm lại đã cm xong.Dấu = có được khi $x=y=1;x=y=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 22-12-2013 - 10:20


#4
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 22-12-2013 - 10:21


#5
haitienbg

haitienbg

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Hơi nhọ 1 tí nhưng cũng đã sai :$x^{3}y^{2}\geq 2xy^{2}\sqrt{xy}$ .

Có 1 cách khá hay cho bài này:

Xét $f(x)=y^{2}x^{3}+y^{3}+x^{2}-x^{3}y-xy^{3}-xy$ với $0\leq y\leq x\leq 1$

Nế mà $f(x)'\geq 0$ thì hàm đồng biến $\Rightarrow f(x)\geq f(y)=y^{3}+y^{5}-2y^{4}\geq 0$ (vì $1\geq y$)

Còn nếu $f(x)< 0$ thì hàm nghịch biến $\Rightarrow f(x)\geq f(1)=(y-1)^{2}\geq 0$

Tóm lại đã cm xong.Dấu = có được khi $x=y=1;x=y=0$

Sr! mình viết thiếu


......Không có việc gì là không thể......... 

           = ====== NVT ====== =





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh