Bảng A
Câu 1. Nhắc lại rằng một Khối Hai mươi mặt đều là một đa diện lồi có $12$ đỉnh và $20$ mặt, các mặt là những tam giác đều và bằng nhau. Trên mỗi mặt của một Khối Hai mươi mặt đều được viết một số nguyên dương sao cho tổng của tất cả $20$ số nguyên đó là $39$. Chứng minh rằng có hai mặt chung đỉnh được viết cùng một số.
Câu 2. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương không phải là bình phương của một số hoàn hảo. Với mỗi $n \in S$, ta chọn các số nguyên $a_1,a_2,\dots, a_r$ sao cho $n<a_1<a_2<\cdots<a_r$ và $n\cdot a_1\cdot a_2\cdots a_r$ là bình phương một số hoàn hảo. Đặt $f(n)$ là giá trị bé nhất của $a_r$ trong tất cả các cách chọn như vậy. Chẳng hạn, $2\cdot 3\cdot 6$ là một bình phương hoàn hảo, trong khi đó $2\cdot 3,2\cdot 4, 2\cdot 5, 2\cdot 3\cdot 4, 2\cdot 3\cdot 5, 2\cdot 4\cdot 5$, và $2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$ thì không, do đó $f(2)=6$. Chứng minh rằng $f$ là tương ứng $1-1$ giữa $S$ và tập các số nguyên.
Câu 3. Giả sử rằng các số thực $a_0 , a_1 , \dots , a_n$ và $x$ , với $0 <x < 1 $, thỏa mãn
$$\frac { a_0 } { 1- x } + \frac { a_1 } { 1- x ^ 2 } + \cdots + \frac { a_n } { 1- x ^ { n +1 }} = 0$$
Chứng minh rằng tồn tại một số thực $y$ với $0 < y < 1$ sao cho $a_0 + a_1y + \cdots + a_ny ^ n = 0$ .
Câu 4. Có hữu hạn các chữ số $0$ và $1$ được viết thành một vòng tròn. Một cung tròn với chiều dài $L \ge 0$ bao gồm $L$ chữ số liên tiếp trên vòng tròn. Đối với mỗi cung $w$, gọi $Z (w)$ và $N ( w)$ lần lượt là số số $0$ và số số $1$ trong $w$. Giả sử $|Z (w) -Z ( w ) | \le 1$ với bất kỳ hai vòng cung $w, w '$ có chiều dài bằng nhau. Giả sử rằng một số vòng cung $w_1 , \dots , w_k$ có tính chất
$$Z = \frac{1}{k}\sum_ { j = 1 } ^ kZ ( w_j ) \text { và } N = \frac1k \sum_ { j = 1 } ^ k N ( w_j )$$
là các số nguyên. Chứng minh rằng có tồn tại một vòng cung $w$ với $Z (w) = Z$ và $N ( w) = N$.
Câu 5. Với $m \ge 3$, một danh sách $\binom{m}{3}$ số thực $a_ { ijk } (1 \le i < j < k \le m )$ được gọi là "vùng" cho $\mathbb {R} ^ n$ nếu bất đẳng thức
$$\sum_ {1 \le i < j < k \le m } a_ { ijk } \cdot S( \Delta A_iA_jA_k ) \ge 0$$
đúng với mọi điểm $A_1 , \dots , A_m$ trong $\mathbb {R } ^ n $. Ví dụ, danh sách bốn số $a_ { 123 } = a_ { 124 } = a_ { 134 } = 1 , a_ { 234 } = -1$ là vùng cho $\mathbb {R} ^ 2$. Chứng minh rằng nếu một danh sách $\binom{m}{3}$ số là vùng cho $\mathbb {R} ^ 2$ thì nó cũng là vùng cho $\mathbb {R} ^ 3 $.
Câu 6. Cho ánh xạ $w : \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ như sau: với $| a | , | b | \le 2 $, cho $w (a, b )$ như trong bảng, nếu không, quy ước $w (a, b ) = 0 $.
\[ \begin{array}{|lr|rrrrr|}\hline &&&&b&&\\ &w(a,b)&-2&-1&0&1&2\\ \hline &-2&-1&-2&2&-2&-1\\ &-1&-2&4&-4&4&-2\\ a&0&2&-4&12&-4&2\\ &1&-2&4&-4&4&-2\\ &2&-1&-2&2&-2&-1\\ \hline\end{array} \]
Đối với mỗi tập con hữu hạn $S$ của $\mathbb{Z} \times \mathbb {Z}$, xác định
$$A ( S ) = \sum_ { (s,s') \in S \times S } w (s - s')$$
Chứng minh rằng nếu $S$ là tập con hữu hạn bất kỳ khác rỗng của $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ thì $A ( S ) > 0$ . ( Ví dụ, nếu $S = \{ (0,1), (0,2) , ( 2,0 ) , (3,1) \} $, khi đó các giá trị của $A ( S )$ là $12,12,12 , 12,4,4,0,0,0,0 , -1, -1, -2, -2, -4 , -4 $).
Bảng B
Câu 1
$$c (1) = 1 , c ( 2n ) = c (n) , c ( 2n +1 ) = (-1) ^ nc ( n )$$
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
Chứng minh rằng
$$Var ( fg ) \le 2Var (f) M (g)^2 +2Var (g) M (f )^2, \forall f,g \in .C_{[0;1]}$$