Chủ đề này có 3 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $\Delta ABC.$ Đường tròn $(O_{1};R)$ và Đường tròn $(O_{2};r)$ lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Qua $O_{1}$, kẻ $O_{1}D;O_{1}E;O_{1}F$ lần lượt vuông góc với $AC,CB,BA.$ Chứng minh: $O_{1}D+O_{1}E+O_{1}F=R+r.$

[Hoang Tung 126]

Đây là định lý Carnot .Ta chứng minh như sau : 

 Do $AFO_{1}D,BFO_{1}E,CEO_{1}D$ là các tứ giác nội tiếp nên theo định lý Ptoleme ta có :

  $AO_{1}.FD=AF.O_{1}D+FO_{1}.AD< = > R.\frac{BC}{2}=\frac{AB}{2}.O_{1}D+\frac{AC}{2}.FO_{1}< = > R.BC=AB.O_{1}D+AC.FO_{1}$

Lập tương tự các đẳng thức rồi cộng lại ta được :$R(AB+BC+AC)=O_{1}D(AB+BC)+O_{1}F(AC+BC)+O_{1}E(AB+AC)$

Mà $2S=r(AB+BC+AC)=O_{1}D.AC+O_{1}F.AB+O_{1}E.BC$

Cộng theo vế 2 đẳng thức trên ta thu được :$R(AB+BC+AC)+r(AB+BC+AC)=(O_{1}D+O_{1}E+O_{1}F)(AB+BC+AC)< = > R+r=O_{1}D+O_{1}E+O_{1}F$

[eatchuoi19999]

Đây là định lý Carnot .Ta chứng minh như sau : 

 Do $AFO_{1}D,BFO_{1}E,CEO_{1}D$ là các tứ giác nội tiếp nên theo định lý Ptoleme ta có :

  $AO_{1}.FD=AF.O_{1}D+FO_{1}.AD< = > R.\frac{BC}{2}=\frac{AB}{2}.O_{1}D+\frac{AC}{2}.FO_{1}< = > R.BC=AB.O_{1}D+AC.FO_{1}$

Lập tương tự các đẳng thức rồi cộng lại ta được :$R(AB+BC+AC)=O_{1}D(AB+BC)+O_{1}F(AC+BC)+O_{1}E(AB+AC)$

Mà $2S=r(AB+BC+AC)=O_{1}D.AC+O_{1}F.AB+O_{1}E.BC$

Cộng theo vế 2 đẳng thức trên ta thu được :$R(AB+BC+AC)+r(AB+BC+AC)=(O_{1}D+O_{1}E+O_{1}F)(AB+BC+AC)< = > R+r=O_{1}D+O_{1}E+O_{1}F$

Bạn chứng minh cho mình định lí Ptoleme được ko?   

[Hoang Tung 126]

Bạn chứng minh cho mình định lí Ptoleme được ko?   

Đây là định lý quen thuộc nên có thể tra cứu trên mạng