Cho dãy số xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_{1}=3-2\sqrt{2} & & \\ x_{n+1}=2+\sqrt{x_{n}}-2\sqrt{1+\sqrt{x_{n}}} & & \end{matrix}\right.$$
Tìm công thức tổng quát của dãy $\left ( y_{n} \right )$ xác định bởi $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i}$
Cho dãy số xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_{1}=3-2\sqrt{2} & & \\ x_{n+1}=2+\sqrt{x_{n}}-2\sqrt{1+\sqrt{x_{n}}} & & \end{matrix}\right.$$
Tìm công thức tổng quát của dãy $\left ( y_{n} \right )$ xác định bởi $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i}$
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
Cho dãy số xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_{1}=3-2\sqrt{2} & & \\ x_{n+1}=2+\sqrt{x_{n}}-2\sqrt{1+\sqrt{x_{n}}} & & \end{matrix}\right.$$
Tìm công thức tổng quát của dãy $\left ( y_{n} \right )$ xác định bởi $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i}$
Lời giải:
Bằng quy nạp, ta có\[
\forall n:x_n = \left( {2^{\frac{1}{{2^n }}} - 1} \right)^2 = 2^{\frac{1}{{2^{n - 1} }}} - 2.2^{\frac{1}{{2^n }}} + 1
\]
Cho nên với $i \ge 1$:\[
2^i x_i = 2^{i + \frac{1}{{2^{i - 1} }}} - 2^{i + 1 + \frac{1}{{2^i }}} + 2^i \Rightarrow y_n = 2^{1 + \frac{1}{{2^{1 - 1} }}} - 2^{n + 1 + \frac{1}{{2^n }}} + \sum\limits_{i = 1}^n {2^i } = 2^2 - 2^{n + 1 + \frac{1}{{^{2^n } }}} + 2^{n + 1} - 2 = 2^{n + 1} \left( {1 - 2^{\frac{1}{{2^n }}} } \right) + 2
\]
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$Bắt đầu bởi Phuong Thu Quoc, 16-01-2014 nam, a13, 11, vui, tết |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sqrt[n]{n}=\sqrt[m]{m}$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-01-2014 vui |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$n(n+1)(2n+1)\vdots 42$Bắt đầu bởi namcpnh, 11-11-2013 vui |
|
|||
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Quán xá →
Quán hài hước →
Ai bảo trên đời không có ngày 31-02?Bắt đầu bởi namcpnh, 16-03-2013 vui |
|
|||
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Quán xá →
Câu lạc bộ hâm mộ →
Anh em nhà Da SilvaBắt đầu bởi luuxuan9x, 01-03-2013 vui |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh