Chủ đề này có 1 trả lời

[Phuong Thu Quoc]

Cho dãy số xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_{1}=3-2\sqrt{2} & & \\ x_{n+1}=2+\sqrt{x_{n}}-2\sqrt{1+\sqrt{x_{n}}} & & \end{matrix}\right.$$

Tìm công thức tổng quát của dãy $\left ( y_{n} \right )$ xác định bởi $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i}$

[perfectstrong]

Cho dãy số xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_{1}=3-2\sqrt{2} & & \\ x_{n+1}=2+\sqrt{x_{n}}-2\sqrt{1+\sqrt{x_{n}}} & & \end{matrix}\right.$$

Tìm công thức tổng quát của dãy $\left ( y_{n} \right )$ xác định bởi $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i}$

Lời giải:

Bằng quy nạp, ta có\[
\forall n:x_n  = \left( {2^{\frac{1}{{2^n }}}  - 1} \right)^2  = 2^{\frac{1}{{2^{n - 1} }}}  - 2.2^{\frac{1}{{2^n }}}  + 1
\]
Cho nên với $i \ge 1$:\[
2^i x_i  = 2^{i + \frac{1}{{2^{i - 1} }}}  - 2^{i + 1 + \frac{1}{{2^i }}}  + 2^i  \Rightarrow y_n  = 2^{1 + \frac{1}{{2^{1 - 1} }}}  - 2^{n + 1 + \frac{1}{{2^n }}}  + \sum\limits_{i = 1}^n {2^i }  = 2^2  - 2^{n + 1 + \frac{1}{{^{2^n } }}}  + 2^{n + 1}  - 2 = 2^{n + 1} \left( {1 - 2^{\frac{1}{{2^n }}} } \right) + 2
\]