Thượng úy
Cho a, b, c $>$ 0. Chứng minh rằng:
a) $\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+2b}}+\sqrt{\frac{c}{b+a+2c}}\leq \frac{3}{2}$
b) $\frac{(a+b)^{2}}{ab}+\frac{(c+b)^{2}}{bc}+\frac{(a+c)^{2}}{ac}\geq 9+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$
c) $\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Trung sĩ
Cho a, b, c $>$ 0. Chứng minh rằng:
c) $\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
$P=\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a^{2}}{ab^{2}+abc+ac^{2}}+\frac{b^{2}}{bc^{2}+cab+a^{2}b}+\frac{c^{2}}{a^{2}c+abc+b^{2}c}$
Áp dụng BĐT Schwars
$P\geq ...\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\left ( ab^{2} +b^{2}c+abc\right )+\left ( ac^{2} +bc^{2}+abc\right )+\left ( a^{2}b +a^{2}c+abc\right )}= \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\left ( ab+bc+ac \right )\left ( a+b+c \right )}= \frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\rightarrow Đpcm$
Thượng sĩ
bài 1
ta có$\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\leq \sqrt{3(\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{a+c+2b}+\frac{c}{a+b+2c})}\leq \sqrt{\frac{3}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c})}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$
bài 2
bđt tương đương $\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-bc}{bc}+\frac{a^{2}-ac+c^{2}}{ac}\geq 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$
có $\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-bc}{bc}+\frac{a^{2}-ac+c^{2}}{ac}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2ac}=\frac{a}{2b}+\frac{b}{2a}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2b}+\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}$
ta có $2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b})$ đpcm
Thiếu tá
Câu a: Theo BCS có :$A^2=(\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+2a}})^2\leq 3(\sum \frac{a}{b+c+2a})\leq 3(\sum \frac{a}{(a+b)+(a+c)})\leq \frac{3}{4}.(\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{a}{a+c})=\frac{3}{4}.(\sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{b}{a+b})=\frac{3}{4}.3=\frac{9}{4}= > A^2\leq \frac{9}{4}= > A\leq \frac{3}{2}$
Thiếu tá
Bài 3: Ta có :$\sum \frac{a}{b^2+bc+c^2}=\sum \frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum ab(a+b)+3abc}=\frac{(\sum a)^2}{(\sum a)(\sum ab)}=\frac{\sum a}{\sum ab}$
Thượng úy
Các bạn tránh dùng kí hiệu $\sum$ nhé!
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
